Encontre as transformadas de Laplace das seguintes funções. Mostre os detalhes do que fizer. ( a, b, k, \omega, \theta são constantes.)
e^{3 a-2 b t}

Passo 1

Enunciado: calcular a transformada de Laplace da função \,e^{3a-2bt}\,, onde a e b são constantes.
Informações relevantes dadas: a função depende de t via -2bt; a constante e^{3a} não depende de t.
O que se pede: encontrar \mathcal{L}\{e^{3a-2bt}\}(s) (transformada de Laplace em função de s) e indicar a região de convergência.

Passo 2

Definição da transformada de Laplace (aula rápida): para uma função f(t) definida em t\ge 0, a transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa da transformada. Para que a integral exista como impropriamente convergente precisamos que o integrando decaia suficientemente rápido, o que se traduz em uma condição sobre a parte real de s (veremos isso ao final).

Passo 3

Observação de linearidade e fator constante: a função pode ser escrita como produto de uma constante por uma função de t:
e^{3a-2bt}=e^{3a}\,e^{-2bt}.
Pela linearidade da transformada de Laplace, uma constante pode sair da integral, isto é
\mathcal{L}\{e^{3a-2bt}\}(s)=e^{3a}\,\mathcal{L}\{e^{-2bt}\}(s).

Passo 4

Cálculo direto da integral para \mathcal{L}\{e^{-2bt}\}(s): aplicando a definição,
\mathcal{L}\{e^{-2bt}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,e^{-2bt}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s+2b)t}\,dt.
Aqui definimos \alpha = s+2b. Sabemos que, para \operatorname{Re}(\alpha)>0,
\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t}\,dt = \left[-\frac{1}{\alpha}e^{-\alpha t}\right]_{0}^{\infty} = 0 -\left(-\frac{1}{\alpha}\right)=\frac{1}{\alpha}.
Detalhe do passo limite: como \operatorname{Re}(\alpha)>0, temos e^{-\alpha t}\to 0 quando t\to\infty, garantindo a convergência do termo no infinito.

Passo 5

Substituindo \alpha = s+2b no resultado e multiplicando pela constante e^{3a} obtida no Passo 3, temos
\mathcal{L}\{e^{3a-2bt}\}(s)=e^{3a}\cdot\frac{1}{s+2b}=\frac{e^{3a}}{s+2b},
com a condição de convergência
\operatorname{Re}(s+2b)>0\quad\text{o que equivale a}\quad \operatorname{Re}(s)>-2b.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{e^{3a-2bt}\}(s)=\frac{e^{3a}}{s+2b},\quad \operatorname{Re}(s)>-2b

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