Encontre as transformadas de Laplace das seguintes funções. Mostre os detalhes do que fizer. (
são constantes.)
Passo 1
Enunciado: calcular a transformada de Laplace da função
, onde
e
são constantes.
Informações relevantes dadas: a função depende de via
; a constante
não depende de
.
O que se pede: encontrar (transformada de Laplace em função de
) e indicar a região de convergência.
Informações relevantes dadas: a função depende de
O que se pede: encontrar
Passo 2
Definição da transformada de Laplace (aula rápida): para uma função
definida em
, a transformada de Laplace é
onde
é a variável complexa da transformada. Para que a integral exista como impropriamente convergente precisamos que o integrando decaia suficientemente rápido, o que se traduz em uma condição sobre a parte real de
(veremos isso ao final).
Passo 3
Observação de linearidade e fator constante: a função pode ser escrita como produto de uma constante por uma função de
:
Pela linearidade da transformada de Laplace, uma constante pode sair da integral, isto é
Passo 4
Cálculo direto da integral para
: aplicando a definição,
Aqui definimos
. Sabemos que, para
,
Detalhe do passo limite: como
, temos
quando
, garantindo a convergência do termo no infinito.
Passo 5
Substituindo
no resultado e multiplicando pela constante
obtida no Passo 3, temos
com a condição de convergência