Encontre as transformadas de Laplace das seguintes funções. Mostre os detalhes do que fizer. ( a, b, k, \omega, \theta são constantes.) -8 \operatorname{sen} 0,2 t
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre a transformada de Laplace da função -8\operatorname{sen}0,2t.
Informações dadas: a função é -8\operatorname{sen}0,2t e 0,2 é uma constante (frequência angular). Não há outras condições explícitas; vou assumir a definição usual da transformada de Laplace unilateral.
Passo 2
Recordando a propriedade de linearidade da transformada de Laplace: se f(t) tem transformada F(s), então, para constante c,
Aqui isso significa que posso primeiro achar \mathcal{L}\{\operatorname{sen}(0,2t)\}(s) e depois multiplicar o resultado por -8.
Passo 3
Vou agora obter a transformada de Laplace da função \operatorname{sen}(\omega t) de modo didático. Definimos
I(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(\omega t)\,dt,
onde s é a variável complexa da transformada e \omega é uma constante real positiva. Para que a integral imprópria convirja, precisamos que \Re(s)>0 (assim e^{-st} decai quando t\to\infty).
O termo de fronteira vale \displaystyle 0 -\left(-\frac{1}{s}\cdot 1\right)=\frac{1}{s} (novamente porque o termo no infinito é zero para \Re(s)>0). Então
J(s)=\frac{1}{s} + \frac{\omega}{s}I(s).
Passo 6
Agora volto à relação I(s)=\dfrac{\omega}{s}J(s) e substituo J(s) obtido no passo anterior:
Pela linearidade (Passo 2), a transformada de -8\operatorname{sen}(0,2t) é -8 vezes essa expressão. Vou deixar a multiplicação final e a forma simplificada como resposta final.