Encontre as transformadas de Laplace das seguintes funções. Mostre os detalhes do que fizer. ( a, b, k, \omega, \theta são constantes.)
-8 \operatorname{sen} 0,2 t

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a transformada de Laplace da função -8\operatorname{sen}0,2t.
Informações dadas: a função é -8\operatorname{sen}0,2t e 0,2 é uma constante (frequência angular). Não há outras condições explícitas; vou assumir a definição usual da transformada de Laplace unilateral.

Passo 2

Recordando a propriedade de linearidade da transformada de Laplace: se f(t) tem transformada F(s), então, para constante c,
\mathcal{L}\{c\,f(t)\}(s)=c\,\mathcal{L}\{f(t)\}(s).
Aqui isso significa que posso primeiro achar \mathcal{L}\{\operatorname{sen}(0,2t)\}(s) e depois multiplicar o resultado por -8.

Passo 3

Vou agora obter a transformada de Laplace da função \operatorname{sen}(\omega t) de modo didático. Definimos
I(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(\omega t)\,dt,
onde s é a variável complexa da transformada e \omega é uma constante real positiva. Para que a integral imprópria convirja, precisamos que \Re(s)>0 (assim e^{-st} decai quando t\to\infty).

Passo 4

Vou calcular I(s) por integração por partes. Tomo
u=\sin(\omega t),\qquad dv=e^{-st}dt.
Então
du=\omega\cos(\omega t)\,dt,\qquad v=-\frac{e^{-st}}{s}.
Aplicando integração por partes:
I(s)=\left.-\frac{e^{-st}}{s}\sin(\omega t)\right|_{0}^{\infty} + \frac{\omega}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(\omega t)\,dt.
O termo de fronteira em t\to\infty é zero quando \Re(s)>0, e no t=0 0, logo o primeiro termo é 0. Denotando
J(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(\omega t)\,dt,
temos
I(s)=\frac{\omega}{s}J(s).

Passo 5

Agora calculo J(s) também por partes. Tomo
u=\cos(\omega t),\qquad dv=e^{-st}dt,
então
du=-\omega\sin(\omega t)\,dt,\qquad v=-\frac{e^{-st}}{s}.
Assim
J(s)=\left.-\frac{e^{-st}}{s}\cos(\omega t)\right|_{0}^{\infty} + \frac{\omega}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(\omega t)\,dt.
O termo de fronteira vale \displaystyle 0 -\left(-\frac{1}{s}\cdot 1\right)=\frac{1}{s} (novamente porque o termo no infinito é zero para \Re(s)>0). Então
J(s)=\frac{1}{s} + \frac{\omega}{s}I(s).

Passo 6

Agora volto à relação I(s)=\dfrac{\omega}{s}J(s) e substituo J(s) obtido no passo anterior:
I(s)=\frac{\omega}{s}\left(\frac{1}{s} + \frac{\omega}{s}I(s)\right).
Isso dá
I(s)=\frac{\omega}{s^{2}} + \frac{\omega^{2}}{s^{2}}I(s).
Isolando I(s),
I(s)\left(1-\frac{\omega^{2}}{s^{2}}\right)=\frac{\omega}{s^{2}}.
Logo
I(s)=\frac{\omega}{s^{2}-\omega^{2}}.
Multiplicando numerador e denominador por -1 e reorganizando, obtemos a forma usual
I(s)=\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}},
válida para \Re(s)>0. Assim concluímos a fórmula padrão:
\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\}(s)=\frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}},\qquad \Re(s)>0.

Passo 7

Aplicando a fórmula com \omega=0,2, obtemos a transformada de \operatorname{sen}(0,2t):
\mathcal{L}\{\operatorname{sen}(0,2t)\}(s)=\frac{0,2}{s^{2}+(0,2)^{2}}=\frac{0,2}{s^{2}+0,04},\qquad \Re(s)>0.
Pela linearidade (Passo 2), a transformada de -8\operatorname{sen}(0,2t) é -8 vezes essa expressão. Vou deixar a multiplicação final e a forma simplificada como resposta final.

Resposta

-\dfrac{1,6}{s^{2}+0,04} (válida para \Re(s)>0)

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