Encontre as transformadas de Laplace das seguintes funções. Mostre os detalhes do que fizer. (
são constantes.)
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas: a função é .
O que se deve encontrar: .
Não há outras restrições explícitas; assumimos (condição usual para convergência da transformada de funções seno/cosseno).
Informações dadas: a função é
O que se deve encontrar:
Não há outras restrições explícitas; assumimos
Passo 2
Primeiro simplificamos a função usando a identidade trigonométrica de diferença de ângulos:
Aplicando com
e
obtemos
Aqui
e
são constantes (números).
Passo 3
Usamos a linearidade da transformada de Laplace: para constantes
e funções
,
Aplicando à expressão do passo anterior:
Portanto precisamos das transformadas
e
.
Passo 4
Vamos derivar a fórmula geral para
. Defina
com
e
real. Faremos integração por partes duas vezes de forma controlada.
-
Seja
e . -
Integração por partes em
: tome , . Então e . Logo
O termo de fronteira vale zero (pois
anula no infinito para
e
), portanto
- Integração por partes em
: tome , . Então e . Assim
O termo de fronteira é
(pois em
temos
e no infinito a contribuição é zero), e o segundo termo é
. Logo
- Substituímos
em :
Reorganizando,
Portanto
Passo 5
Usando
e substituindo o valor de
encontramos
Passo 6
Agora aplique as fórmulas com
:
Voltando ao passo 3,
Juntando em uma única fração: