Encontre as transformadas de Laplace das seguintes funções. Mostre os detalhes do que fizer. (
são constantes.)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas: a função é (dependente de
); as constantes citadas no enunciado geral (
) existem, mas para esta pergunta específica só usamos
.
O que precisamos devolver: e a condição de convergência em
(quando for necessária).
Informações dadas: a função é
O que precisamos devolver:
Passo 2
Vamos simplificar a função trigonométrica usando uma identidade conhecida. A identidade que usamos é
Aqui, trocando
por
, obtemos
Explicando rápido: essa identidade vem das fórmulas de soma e diferença de seno; é uma forma padrão de reduzir produto de seno e cosseno a um seno de ângulo duplo.
Passo 3
Usamos a linearidade da transformada de Laplace: para constante
e função
,
Aplicando ao nosso caso,
Portanto só falta calcular
.
Passo 4
Agora vamos achar a fórmula geral
Denote
com
(condição necessária para que
faça o integral convergir). Para calcular
fazemos a integral indefinida e depois avaliamos os limites. Considere a primitiva
Fazendo integração por partes duas vezes (ou usando o método padrão), obtemos as relações
e para a integral do cosseno
Substituindo a segunda na primeira e rearranjando para isolar
, chega-se a
Agora avaliamos a integral imprópria:
Como
tende a
quando
e as funções seno e cosseno são limitadas, o termo
tende a
se
. Em
temos
e
, então
Portanto
Concluímos a fórmula geral
Passo 5
Aplicamos a fórmula com
:
Voltando ao passo anterior com o fator
, obtemos
válido para
.