Encontre as transformadas de Laplace das seguintes funções. Mostre os detalhes do que fizer. ( a, b, k, \omega, \theta são constantes.)
\operatorname{sen} t \cos t

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a transformada de Laplace da função \operatorname{sen} t \cos t.
Informações dadas: a função é \operatorname{sen} t \cos t (dependente de t); as constantes citadas no enunciado geral ( a,b,k,\omega,\theta) existem, mas para esta pergunta específica só usamos t.
O que precisamos devolver: \mathcal{L}\{\operatorname{sen} t \cos t\}(s) e a condição de convergência em s (quando for necessária).

Passo 2

Vamos simplificar a função trigonométrica usando uma identidade conhecida. A identidade que usamos é
\operatorname{sen} x \cos x = \tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2x).
Aqui, trocando x por t, obtemos
\operatorname{sen} t \cos t = \tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2t).
Explicando rápido: essa identidade vem das fórmulas de soma e diferença de seno; é uma forma padrão de reduzir produto de seno e cosseno a um seno de ângulo duplo.

Passo 3

Usamos a linearidade da transformada de Laplace: para constante c e função f,
\mathcal{L}\{c\,f(t)\}(s) = c\,\mathcal{L}\{f(t)\}(s).
Aplicando ao nosso caso,
\mathcal{L}\{\operatorname{sen} t \cos t\}(s) = \mathcal{L}\{\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2t)\}(s) = \tfrac{1}{2}\,\mathcal{L}\{\operatorname{sen}(2t)\}(s).
Portanto só falta calcular \mathcal{L}\{\operatorname{sen}(2t)\}(s).

Passo 4

Agora vamos achar a fórmula geral
\mathcal{L}\{\operatorname{sen}(\omega t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\operatorname{sen}(\omega t)\,dt.
Denote
I=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\operatorname{sen}(\omega t)\,dt,
com s>0 (condição necessária para que e^{-st} faça o integral convergir). Para calcular I fazemos a integral indefinida e depois avaliamos os limites. Considere a primitiva
A(t)=\int e^{-st}\operatorname{sen}(\omega t)\,dt.
Fazendo integração por partes duas vezes (ou usando o método padrão), obtemos as relações
A(t)=-\frac{e^{-st}}{s}\operatorname{sen}(\omega t)+\frac{\omega}{s}\int e^{-st}\operatorname{cos}(\omega t)\,dt
e para a integral do cosseno
\int e^{-st}\operatorname{cos}(\omega t)\,dt=-\frac{e^{-st}}{s}\operatorname{cos}(\omega t)-\frac{\omega}{s}A(t).
Substituindo a segunda na primeira e rearranjando para isolar A(t), chega-se a
A(t)=-\frac{e^{-st}}{s^2+\omega^2}\bigl(s\operatorname{sen}(\omega t)+\omega\operatorname{cos}(\omega t)\bigr)+C.
Agora avaliamos a integral imprópria:
I=\lim_{T\to\infty}\bigl[A(T)-A(0)\bigr].
Como e^{-sT} tende a 0 quando T\to\infty e as funções seno e cosseno são limitadas, o termo A(T) tende a 0 se s>0. Em t=0 temos \operatorname{sen}(0)=0 e \operatorname{cos}(0)=1, então
A(0)=-\frac{1}{s^2+\omega^2}\bigl(s\cdot 0 + \omega\cdot 1\bigr) = -\frac{\omega}{s^2+\omega^2}.
Portanto
I = 0 - A(0) = \frac{\omega}{s^2+\omega^2}.
Concluímos a fórmula geral
\mathcal{L}\{\operatorname{sen}(\omega t)\}(s)=\frac{\omega}{s^2+\omega^2},\qquad s>0.

Passo 5

Aplicamos a fórmula com \omega=2:
\mathcal{L}\{\operatorname{sen}(2t)\}(s)=\frac{2}{s^2+4},\qquad s>0.
Voltando ao passo anterior com o fator \tfrac{1}{2}, obtemos
\mathcal{L}\{\operatorname{sen} t \cos t\}(s)=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{2}{s^2+4}=\frac{1}{s^2+4},
válido para s>0.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{s^{2}+4}

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