Dadas as matrizes A=(12-3456) e B=(1-2304-3), determine a matriz A+B^{t}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado):
  • Matrizes fornecidas:
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & -3\\[4pt]4 & 5 & 6\end{pmatrix}
B=\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]3 & 0\\[4pt]4 & -3\end{pmatrix}
  • O enunciado pede a matriz A+B^{t}, ou seja, somar A com a transposta de B.]

Passo 2

Entendendo a transposta e calculando B^{t}.
  • Definição: a transposta de uma matriz B é a matriz B^{t} cujos elementos são dados por
(B^{t})_{ij}=B_{ji}.
Isto significa que linhas viram colunas e colunas viram linhas.
  • Aplicando a definição a B. A primeira coluna de B é \begin{pmatrix}1\\[2pt]3\\[2pt]4\end{pmatrix} e a segunda coluna é \begin{pmatrix}-2\\[2pt]0\\[2pt]-3\end{pmatrix}. Essas colunas serão as linhas de B^{t}. Logo:
B^{t}=\begin{pmatrix}1 & 3 & 4\\[4pt]-2 & 0 & -3\end{pmatrix}.]

Passo 3

Entendendo a adição de matrizes e calculando A+B^{t}.
  • Regra de adição: duas matrizes da mesma dimensão somam-se elemento a elemento. Formalmente, se C=A+D então
C_{ij}=A_{ij}+D_{ij}.
Aqui A e B^{t} são ambas 2\times3, então a soma é válida.
  • Vamos somar elemento a elemento, linha por linha.
Primeira linha:
\begin{aligned} (A+B^{t})_{11} &= A_{11}+ (B^{t})_{11} = 1 + 1 = 2,\\[4pt] (A+B^{t})_{12} &= A_{12}+ (B^{t})_{12} = 2 + 3 = 5,\\[4pt] (A+B^{t})_{13} &= A_{13}+ (B^{t})_{13} = -3 + 4 = 1. \end{aligned}
Segunda linha:
\begin{aligned} (A+B^{t})_{21} &= A_{21}+ (B^{t})_{21} = 4 + (-2) = 2,\\[4pt] (A+B^{t})_{22} &= A_{22}+ (B^{t})_{22} = 5 + 0 = 5,\\[4pt] (A+B^{t})_{23} &= A_{23}+ (B^{t})_{23} = 6 + (-3) = 3. \end{aligned}
  • Montando a matriz resultado com esses elementos, obtemos:
A+B^{t}=\begin{pmatrix}2 & 5 & 1\\[4pt]2 & 5 & 3\end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix}2 & 5 & 1\\[4pt]2 & 5 & 3\end{pmatrix}]

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