Encontre os três números positivos cuja soma é 2001 e tais que seu produto seja o maior possível.

Passo 1

O problema pede três números positivos cujo somatório é 2001 e cujo produto seja máximo. O conteúdo é otimização com restrição, e vamos usar a desigualdade AM–GM (média aritmética maior ou igual à média geométrica) para resolver.

Passo 2

A desigualdade AM–GM diz que, para quaisquer números positivos x, y, z, vale
x+y+z3 >= (xyz)^1/3
e a igualdade ocorre exatamente quando x = y = z.

Passo 3

Como x + y + z = 2001, temos
x+y+z3 = 20013 = 667
portanto
(xyz)^1/3 <= 667
Elevando ao cubo obtemos
xyz <= 667^3
logo o produto é maximizado quando x = y = z = 667.

Passo 4

Concluindo, os três números que somam 2001 e maximizam o produto são todos iguais a 667.

Resposta

667, 667 e 667

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