Um fabricante quer fazer uma caixa retangular para conter um volume fixo de
de unidades cúbicas de um produto. O material usado nos lados custa
reais por unidade quadrada, o usado no fundo custa
reais por unidade quadrada, e o usado na parte superior custa
reais por unidade quadrada. Quais as dimensões da caixa mais barata?
Passo 1
A questão pede que a gente construa uma caixa retangular de volume fixo
, cujo custo total é minimizado. O conteúdo aqui é otimização de funções de várias variáveis com restrição (volume fixo) — podemos usar substituição ou multiplicadores de Lagrange. Vamos precisar montar a função custo em termos das dimensões
e incorporar a condição
.
Passo 2
Definimos:
e
como as dimensões da base retangular e
como a altura. O custo dos quatro lados (laterais) é
por unidade de área, o custo do fundo é
por unidade de área e o custo da tampa é
por unidade de área.
A área total dos quatro lados (duas faces e duas faces
) é
. O fundo tem área
e a tampa também
. Logo, a função custo é
A área total dos quatro lados (duas faces
Passo 3
A restrição de volume é
. Daí podemos isolar
e substituir na função custo para trabalhar só com
e
. Assim,
e a função custo vira
Passo 4
Por simetria de
e
(a expressão para custo fica igual se trocarmos
por
), o mínimo ocorre quando
. Então definimos
e escrevemos
em função de um único
:
Passo 5
Para achar o mínimo, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Passo 6
Como
e
, temos
Resposta
As dimensões que minimizam o custo são
x= y=\displaystyle\Bigl(\frac{2aV}{b+c}\Bigr)^{1/3},
z=\displaystyle\Bigl(\frac{V(b+c)2}{4a2}\Bigr)^{1/3}.
x= y=\displaystyle\Bigl(\frac{2aV}{b+c}\Bigr)^{1/3},
z=\displaystyle\Bigl(\frac{V(b+c)2}{4a2}\Bigr)^{1/3}.