Um fabricante quer fazer uma caixa retangular para conter um volume fixo de V de unidades cúbicas de um produto. O material usado nos lados custa a reais por unidade quadrada, o usado no fundo custa b reais por unidade quadrada, e o usado na parte superior custa c reais por unidade quadrada. Quais as dimensões da caixa mais barata?

Passo 1

A questão pede que a gente construa uma caixa retangular de volume fixo V, cujo custo total é minimizado. O conteúdo aqui é otimização de funções de várias variáveis com restrição (volume fixo) — podemos usar substituição ou multiplicadores de Lagrange. Vamos precisar montar a função custo em termos das dimensões x, y, z e incorporar a condição xyz=V.

Passo 2

Definimos: x e y como as dimensões da base retangular e z como a altura. O custo dos quatro lados (laterais) é a por unidade de área, o custo do fundo é b por unidade de área e o custo da tampa é c por unidade de área.
A área total dos quatro lados (duas faces xtimes z e duas faces ytimes z) é 2xz+2yz. O fundo tem área xy e a tampa também xy. Logo, a função custo é
C(x,y,z)=a, l(2xz+2yzr)+b,xy+c,xy=2a z(x+y)+(b+c)xy

Passo 3

A restrição de volume é xyz=V. Daí podemos isolar z e substituir na função custo para trabalhar só com x e y. Assim,
z=Vxy,
e a função custo vira
C(x,y)=2aVxy(x+y)+(b+c)xy=2aVl(1y+1xr)+(b+c)xy

Passo 4

Por simetria de x e y (a expressão para custo fica igual se trocarmos x por y), o mínimo ocorre quando x=y. Então definimos x=y e escrevemos C em função de um único x:
z=Vx^2,
C(x)=4aVx+(b+c)x^2

Passo 5

Para achar o mínimo, derivamos C(x) em relação a x e igualamos a zero:
C'(x)=-4aV1x^2+2(b+c)x=0
2(b+c)x=4aVx^2
x^3=2aVb+c
x=gl(2aVb+cgr)^1/3

Passo 6

Como y=x e z=V/x^2, temos
y=gl(2aVb+cgr)^1/3,
z=Vl(tfrac2aVb+cr)^2/3 =gl(V(b+c)^24a^2gr)^1/3

Resposta

As dimensões que minimizam o custo são
x= y=\displaystyle\Bigl(\frac{2aV}{b+c}\Bigr)^{1/3},
z=\displaystyle\Bigl(\frac{V(b+c)2}{4a2}\Bigr)^{1/3}.

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