Em que ponto (ou pontos) a função
f(x, y)=raiz(x-1)^2+(y-2)^2+raizx^2+y^2
toma seu valor mínimo? Qual é o valor mínimo da função?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o(s) ponto(s) onde a função
f(x, y)=raiz(x-1)^2+(y-2)^2+raizx^2+y^2
atinge seu valor mínimo. Basicamente, estamos lidando com geometria analítica, mais especificamente com a soma de distâncias entre pontos no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como minimizar essa soma utilizando propriedades geométricas e um pouco de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função representa. A função calcula a soma das distâncias do ponto até os pontos fixos e . Ou seja, estamos procurando o ponto no plano que está “mais próximo” em termos de soma de distâncias desses dois pontos fixos.

Passo 3

Para minimizar essa soma de distâncias, podemos usar um método geométrico conhecido como Reflexão. A ideia é refletir um dos pontos em relação ao outro eixo e então encontrar a reta que conecta os dois pontos refletidos. O ponto de interseção dessa reta com a linha original será o ponto que minimiza a soma das distâncias.

Passo 4

Vamos refletir o ponto em relação à origem . A reflexão de em relação à origem resulta em .

Passo 5

Agora, queremos encontrar a reta que conecta o ponto refletido ao ponto original . Essa reta é simplesmente a linha que passa por esses dois pontos.

Passo 6

A equação da reta que passa por y = mx + b e m = 0 - (-2)0 - (-1) = 21 = 2 pode ser encontrada usando a fórmula da equação da reta:
y = 2x
Aqui, a inclinação é:
E o intercepto é , já que passa pela origem. Então, a equação da reta é:

Passo 7

O ponto de interseção entre a reta e a linha que conecta os pontos e será o ponto que minimiza a soma das distâncias. Notamos que essa interseção ocorre exatamente no ponto .

Passo 8

Agora, vamos calcular o valor mínimo da função substituindo f(0.5, 1) = raiz(0.5-1)^2+(1-2)^2 + raiz(0.5)^2 + 1^2 = raiz(-0.5)^2 + (-1)^2 + raiz0.25 + 1 = raiz0.25 + 1 + raiz1.25 = raiz1.25 + raiz1.25 = 2 times raiz1.25 = 2 times raiz52 = raiz5 e :

Resposta

A função atinge seu valor mínimo no ponto e o valor mínimo da função é .

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