Em que ponto (ou pontos) a função
toma seu valor mínimo? Qual é o valor mínimo da função?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o(s) ponto(s) onde a função
atinge seu valor mínimo. Basicamente, estamos lidando com geometria analítica, mais especificamente com a soma de distâncias entre pontos no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como minimizar essa soma utilizando propriedades geométricas e um pouco de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a função representa. A função
calcula a soma das distâncias do ponto
até os pontos fixos
e
. Ou seja, estamos procurando o ponto no plano que está “mais próximo” em termos de soma de distâncias desses dois pontos fixos.
Passo 3
Para minimizar essa soma de distâncias, podemos usar um método geométrico conhecido como Reflexão. A ideia é refletir um dos pontos em relação ao outro eixo e então encontrar a reta que conecta os dois pontos refletidos. O ponto de interseção dessa reta com a linha original será o ponto que minimiza a soma das distâncias.
Passo 4
Vamos refletir o ponto
em relação à origem
. A reflexão de
em relação à origem resulta em
.
Passo 5
Agora, queremos encontrar a reta que conecta o ponto refletido
ao ponto original
. Essa reta é simplesmente a linha que passa por esses dois pontos.
Passo 6
A equação da reta que passa por
e
pode ser encontrada usando a fórmula da equação da reta:
Aqui, a inclinação
é:
E o intercepto
é
, já que passa pela origem. Então, a equação da reta é:
Passo 7
O ponto de interseção entre a reta
e a linha que conecta os pontos
e
será o ponto que minimiza a soma das distâncias. Notamos que essa interseção ocorre exatamente no ponto
.
Passo 8
Agora, vamos calcular o valor mínimo da função substituindo
e
:
Resposta
A função
atinge seu valor mínimo no ponto
e o valor mínimo da função é
.