Encontre os trếs primeiros termos não nulos do desenvolvimento em série da solução do PVI
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+y=0 \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede os três primeiros termos não nulos da solução em série da equação de Euler
y'' + x\,y' + y = 0,
sujeita a
y(0)=0,\quad y'(0)=1.
O conteúdo é solução por série de potências em torno de x=0.

Passo 2

Assumimos
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n.
Então
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_n x^{n-1},\quad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_n x^{n-2}.
As condições iniciais dão
y(0)=a_0=0,\qquad y'(0)=a_1=1.

Passo 3

Substituindo em
y'' + x\,y' + y = 0
temos
\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_n x^{n-2} +\sum_{n=1}^\infty n\,a_n x^n +\sum_{n=0}^\infty a_n x^n =0.
Reindexando o primeiro somatório com k=n-2 e unindo potências iguais, chega-se ao recurso
(k+2)(k+1)\,a_{k+2}+(k+1)\,a_k=0 \quad\Longrightarrow\quad a_{k+2}=-\frac{a_k}{k+2}.

Passo 4

Usando a_0=0 e a_1=1:
  • Para k=0: a_2=-\frac{a_0}{2}=0.
  • Para k=1: a_3=-\frac{a_1}{3}=-\frac{1}{3}.
  • Para k=2: a_4=-\frac{a_2}{4}=0.
  • Para k=3: a_5=-\frac{a_3}{5}=+\frac{1}{15}.
    Logo, os três primeiros termos não nulos são os de grau 1,3,5.

Resposta

y(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{15}+\cdots

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