O seno hiperbólico é definido por senh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}. Encontre, com justificativa, o desenvolvimento em série de potências de \operatorname{senh}(2 x).

Passo 1

O enunciado pede o desenvolvimento em série de potências de \senh(2x), onde
\senh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}.
Para obter essa série, vamos usar os desenvolvimentos conhecidos em série de Taylor de e^{2x} e e^{-2x} em torno de x=0.

Passo 2

Recordando as séries de Maclaurin para a exponencial, temos
e^{2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!}, \qquad e^{-2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2x)^n}{n!}.

Passo 3

Substituindo em \senh(2x) = \tfrac{e^{2x}-e^{-2x}}{2}, obtemos
\senh(2x) = \frac{1}{2}\Biggl(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2x)^n}{n!} -\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-2x)^n}{n!}\Biggr).
Note que para n par os dois termos se cancelam, e para n=2k+1 eles se somam em
\frac{(2x)^{2k+1}-(-2x)^{2k+1}}{2} = \frac{2\,(2x)^{2k+1}}{2} = (2x)^{2k+1}.

Passo 4

Assim permanecem apenas os termos de ordem ímpar, com n=2k+1. Logo
\senh(2x) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(2x)^{2k+1}}{(2k+1)!}.

Resposta

\senh(2x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(2x)^{2k+1}}{(2k+1)!}.

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