Encontre a soluçâo geral da EDO y^{\prime \prime \prime}-5 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}=e^{3 x}.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear não-homogênea de ordem três
y''' - 5y'' + 4y' = e^{3x}.
O conteúdo que vamos usar é: (1) solução da equação homogênea associada por meio da equação característica de coeficientes constantes e (2) método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Escrevemos a equação característica da parte homogênea
y''' - 5y'' + 4y' = 0
que é
r^3 - 5r^2 + 4r = 0.
Fatorando, temos
r(r^2 - 5r + 4) = 0
e o polinômio do segundo grau fatoriza como
r^2 - 5r + 4 = (r-1)(r-4).
Logo as raízes são r = 0, r = 1 e r = 4.

Passo 3

Daí a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{0\cdot x} + C_2 e^{1\cdot x} + C_3 e^{4\cdot x} = C_1 + C_2 e^{x} + C_3 e^{4x},
com C_1,C_2,C_3 constantes arbitrárias.

Passo 4

Para achar uma solução particular y_p do tipo dos coeficientes a determinar, notamos que a forçante é e^{3x} e 3 não é raiz da característica. Então tentamos
y_p(x) = A e^{3x}.
Calculamos as derivadas:
y_p' = 3A e^{3x}, \quad y_p'' = 9A e^{3x}, \quad y_p''' = 27A e^{3x}.
Substituindo na EDO original,
y_p''' - 5y_p'' + 4y_p' = \bigl(27A - 5\cdot 9A + 4\cdot 3A\bigr)e^{3x} = (27A -45A +12A)e^{3x} = -6A\,e^{3x}.
Para que isso seja igual a e^{3x}, precisamos de
-6A = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = -\tfrac{1}{6}.

Passo 5

Portanto uma solução particular é
y_p(x) = -\tfrac{1}{6} e^{3x}.
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:

Resposta

y(x) = C_1 + C_2 e^{x} + C_3 e^{4x} \;-\; \tfrac{1}{6}e^{3x},
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias.

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