Encontre a soluçâo geral da EDO
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO linear não-homogênea de ordem três
O conteúdo que vamos usar é: (1) solução da equação homogênea associada por meio da equação característica de coeficientes constantes e (2) método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular.
Passo 2
Escrevemos a equação característica da parte homogênea
que é
Fatorando, temos
e o polinômio do segundo grau fatoriza como
Logo as raízes são
,
e
.
Passo 3
Daí a solução geral da homogênea é
com
constantes arbitrárias.
Passo 4
Para achar uma solução particular
do tipo dos coeficientes a determinar, notamos que a forçante é
e
não é raiz da característica. Então tentamos
Calculamos as derivadas:
Substituindo na EDO original,
Para que isso seja igual a
, precisamos de
Passo 5
Portanto uma solução particular é
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
Resposta
onde
são constantes arbitrárias.