Resolva o PVI
utilizando a transformada de Laplace. Você pode usar que
e que
para
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
utilizando a transformada de Laplace. O conteúdo é a aplicação da transformada de Laplace para converter uma equação diferencial de primeira ordem em uma equação algébrica em função de
. Vamos usar as propriedades
e
.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados de
.
Pelo lado esquerdo temos
Pelo lado esquerdo temos
já que
. Pelo lado direito, usando linearidade e
, obtemos
Passo 3
Igualando as duas expressões em
-espaço:
Passo 4
Fazemos decomposição em frações parciais: suponha
Multiplicando por dá
Multiplicando por
Para
temos
logo
. Para
temos
logo
. Assim
Passo 5
Aplicamos a transformada inversa de Laplace termo a termo:
Logo a solução no domínio
é