Resolva o PVI
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}+y=3 e^{2 x} \\\ y(0)=0 \end{array}\right.
utilizando a transformada de Laplace. Você pode usar que \mathcal{L}\left(y^{\prime}\right)(p)=p \mathcal{L}(y)-y(0) e que \mathcal{L}\left(x^{n} e^{k x}\right)(p)=\frac{n!}{(p-k)^{n+1}} para p>k.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} y'(x)+y(x)=3e^{2x},\\\ y(0)=0, \end{cases}
utilizando a transformada de Laplace. O conteúdo é a aplicação da transformada de Laplace para converter uma equação diferencial de primeira ordem em uma equação algébrica em função de p. Vamos usar as propriedades \mathcal{L}(y')(p)=p\,\mathcal{L}(y)(p)-y(0) e \mathcal{L}(e^{2x})(p)=\frac{1}{p-2}.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados de \,y'(x)+y(x)=3e^{2x}.
Pelo lado esquerdo temos
\mathcal{L}(y')(p)+\mathcal{L}(y)(p) =\bigl(p\,Y(p)-y(0)\bigr)+Y(p) =p\,Y(p)+Y(p) =(p+1)\,Y(p),
já que y(0)=0. Pelo lado direito, usando linearidade e \mathcal{L}(e^{2x})(p)=\frac{1}{p-2}, obtemos
3\,\mathcal{L}(e^{2x})(p) =\frac{3}{p-2}.

Passo 3

Igualando as duas expressões em p-espaço:
(p+1)\,Y(p)=\frac{3}{p-2} \quad\Longrightarrow\quad Y(p)=\frac{3}{(p+1)(p-2)}.

Passo 4

Fazemos decomposição em frações parciais: suponha \displaystyle \frac{3}{(p+1)(p-2)}=\frac{A}{p+1}+\frac{B}{p-2}.
Multiplicando por (p+1)(p-2)
3=A(p-2)+B(p+1).
Para p=2 temos 3= B\cdot3 logo B=1. Para p=-1 temos 3=A\cdot(-3) logo A=-1. Assim
Y(p)=-\frac{1}{p+1}+\frac{1}{p-2}.

Passo 5

Aplicamos a transformada inversa de Laplace termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl(-\tfrac{1}{p+1}\Bigr) =-e^{-x}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\Bigl(\tfrac{1}{p-2}\Bigr) =e^{2x}.
Logo a solução no domínio x é
y(x)=-e^{-x}+e^{2x}.

Resposta

y(x)=e^{2x}-e^{-x}.

Exercícios relacionados