Encontre os três primeiros termos não nulos do Polinômio de Taylor que aproxima a solução do problema inicial.
y^prime prime+sen y=0 ; y(0)=1 ; y^prime(0)=0

Passo 1

O problema é um valor inicial para a equação diferencial
y'' + sin y = 0, y(0)=1,;y'(0)=0
Queremos os três primeiros termos não nulos da expansão de Taylor de y(t) em torno de t=0. Vamos usar a série
y(t)=sumn=0^inftyan,t^n
e determinar os coeficientes an a partir das derivadas em t=0.

Passo 2

Da expansão temos
y(0)=a0=1, y'(0)=a1=0
Além disso,
y''(t)=-sinl(y(t)r),
de onde
y''(0)=-sinl(y(0)r)=-sin(1)
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a2=y''(0)2!=-sin(1)2

Passo 3

Para a3 usamos
y'''(t)=-ddtl[sin(y)r] =-cos(y),y',
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y'''(0)=-cos(1)cdot y'(0)=0 Longrightarrow a3=0

Passo 4

Para a4 calculamos
y''''(t) =ddtl[-cos(y),y'r] =sin(y),(y')^2-cos(y),y'',
de modo que em t=0
y''''(0) =sin(1)cdot0^2-cos(1)cdotl(-sin(1)r) =sin(1)cos(1)
Assim
a4=y''''(0)4! =sin(1)cos(1)24

Passo 5

Verifica-se que a5=0 e que o próximo coeficiente não nulo é a6. Portanto, os três primeiros termos não nulos são os de ordem 0, 2 e 4.

Resposta

y(t)approx 1 -sin(1)2,t^2 +sin(1)cos(1)24,t^4

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