Resolva:
Encontre dois valores
tais que
seja solução de:
Encontre dois valores
Passo 1
O enunciado pede para encontrar valores
tais que a função
seja solução da equação diferencial
Informações e observações iniciais:
- Está sendo proposta a forma de solução
com real desconhecido. - A equação tem coeficientes com
no denominador, portanto só faz sentido para . Para com real, normalmente consideramos para evitar ambiguidade de potências não inteiras. - O objetivo é determinar os valores de
que tornam a igualdade verdadeira para todos no domínio considerado.
Passo 2
Calcular as derivadas de
. Vamos lembrar a regra básica de derivação de uma potência: para
real e
,
Aplicando isso:
Um exemplo rápido para intuir: se
então
,
e
, que é consistente com as fórmulas acima.
Passo 3
Substituir
,
e
na equação dada. Escrevendo cada termo:
Substituindo na equação:
Passo 4
Fatorar
do lado esquerdo:
Como estamos buscando soluções para
no domínio onde
(ou seja,
), podemos dividir por
e obter a condição sobre
:
Desenvolvendo:
Passo 5
Resolver a equação quadrática
. Podemos tentar fatorar: procuramos dois números cujo produto seja
e soma seja
; esses números são
e
. Logo
Portanto as raízes são
Passo 6
Interpretação final: os valores
e
fazem com que
satisfaça a equação diferencial no domínio considerado (tipicamente
). Assim,
e
são soluções da equação dada.