Resolva:
Encontre dois valores r \in \mathbb{R} tais que y=x^{r} seja solução de: y^{\prime \prime}-\left(\frac{2}{x}\right) y^{\prime}-\left(\frac{4}{x^{2}}\right) y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar valores r\in\mathbb{R} tais que a função y=x^{r} seja solução da equação diferencial
y^{\prime\prime}-\left(\frac{2}{x}\right)y^{\prime}-\left(\frac{4}{x^{2}}\right)y=0.
Informações e observações iniciais:
  • Está sendo proposta a forma de solução y=x^{r} com r real desconhecido.
  • A equação tem coeficientes com x no denominador, portanto só faz sentido para x\neq0. Para x^{r} com r real, normalmente consideramos x>0 para evitar ambiguidade de potências não inteiras.
  • O objetivo é determinar os valores de r que tornam a igualdade verdadeira para todos x no domínio considerado.

Passo 2

Calcular as derivadas de y=x^{r}. Vamos lembrar a regra básica de derivação de uma potência: para r real e x>0,
\frac{d}{dx}x^{r}=r x^{r-1}.
Aplicando isso:
y=x^{r}, \qquad y' = r x^{r-1}, \qquad y'' = r(r-1) x^{r-2}.
Um exemplo rápido para intuir: se r=3 então y=x^{3}, y'=3x^{2} e y''=6x, que é consistente com as fórmulas acima.

Passo 3

Substituir y, y' e y'' na equação dada. Escrevendo cada termo:
y'' = r(r-1)x^{r-2}, \qquad \left(\frac{2}{x}\right)y' = \frac{2}{x}\cdot r x^{r-1}=2r x^{r-2}, \qquad \left(\frac{4}{x^{2}}\right)y = \frac{4}{x^{2}}\cdot x^{r}=4 x^{r-2}.
Substituindo na equação:
r(r-1)x^{r-2} - 2r x^{r-2} - 4 x^{r-2} = 0.

Passo 4

Fatorar x^{r-2} do lado esquerdo:
\bigl[r(r-1)-2r-4\bigr]x^{r-2}=0.
Como estamos buscando soluções para x no domínio onde x^{r-2}\neq0 (ou seja, x\neq0), podemos dividir por x^{r-2} e obter a condição sobre r:
r(r-1)-2r-4=0.
Desenvolvendo:
r^{2}-r-2r-4=0 \qquad\Rightarrow\qquad r^{2}-3r-4=0.

Passo 5

Resolver a equação quadrática r^{2}-3r-4=0. Podemos tentar fatorar: procuramos dois números cujo produto seja -4 e soma seja -3; esses números são -4 e 1. Logo
r^{2}-3r-4=(r-4)(r+1)=0.
Portanto as raízes são
r=4 \qquad\text{ou}\qquad r=-1.

Passo 6

Interpretação final: os valores r=4 e r=-1 fazem com que y=x^{r} satisfaça a equação diferencial no domínio considerado (tipicamente x>0). Assim, y=x^{4} e y=x^{-1} são soluções da equação dada.

Resposta

r=4
r=-1

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