Resolva:
y^{\prime}=\frac{y}{x}-3\left(\frac{y}{x}\right)^{4 / 3}, \quad y(2)=1

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a equação diferencial com condição inicial:
y'=\frac{y}{x}-3\left(\frac{y}{x}\right)^{4/3},\qquad y(2)=1.
  • Pede a solução y(x) que satisfaça essa equação e a condição inicial.
Informações relevantes que já podemos anotar:
  • A equação envolve a razão \dfrac{y}{x} em todos os termos do lado direito.
  • A condição inicial é em x=2, portanto estamos interessados em uma solução num intervalo contendo x=2 (logo x>0 próximo de 2).

Passo 2

Escolha de uma substituição útil e porquê (explicação didática):
  • Quando o lado direito de uma equação diferencial depende de \dfrac{y}{x} apenas, é muito comum usar a substituição
v=\frac{y}{x}.
Isto transforma a equação em uma para v(x) que costuma ser separável. Agora explico como aplicar isso passo a passo.
Fazer a substituição y=vx. Para derivar y em relação a x, use a regra do produto:
y = v(x)\,x \quad\Rightarrow\quad y' = v + x\,v',
onde v'=\dfrac{dv}{dx}. Substituindo y e y' na equação original, obtemos uma equação em v.

Passo 3

Substituição e simplificação:
  • Substituindo y=vx e y'=v+xv' em
y'=\frac{y}{x}-3\left(\frac{y}{x}\right)^{4/3}
temos
v + x v' = v - 3 v^{4/3}.
  • Cancela-se v dos dois lados:
x v' = -3 v^{4/3}.
  • Agora escrevemos em forma separável (colocando termos em v de um lado e em x do outro):
\frac{dv}{dx} = -3\frac{v^{4/3}}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dv}{v^{4/3}} = -3\frac{dx}{x}.

Passo 4

Integração (detalhando cada passo):
  • Vamos integrar ambos os lados em relação a x (ou integrar o lado esquerdo em v e o direito em x):
\int \frac{dv}{v^{4/3}} = \int -3\frac{dx}{x}.
  • Calcule a integral à esquerda. Note que v^{-4/3} tem primitiva obtida usando a regra da potência:
\int v^{-4/3}\,dv = \frac{v^{-1/3}}{-1/3} = -3 v^{-1/3}.
(Verificação rápida: \dfrac{d}{dv}\bigl(v^{-1/3}\bigr)=(-1/3)v^{-4/3}.)
  • A integral à direita é
\int -3\frac{dx}{x} = -3\ln|x| + C,
onde C é constante de integração.
  • Igualando as primitivas:
-3 v^{-1/3} = -3\ln|x| + C.

Passo 5

Resolver para v explicitamente:
  • Dividindo por -3 para simplificar,
v^{-1/3} = \ln|x| + C_1,
onde C_1=-C/3 é outra constante arbitrária.
  • Agora isolamos v. Eleva-se ambos os lados à potência -3:
v = \bigl(\ln|x| + C_1\bigr)^{-3}.
  • Lembrando que v=\dfrac{y}{x}, obtemos a solução geral:
y = x\,v = x\bigl(\ln|x| + C_1\bigr)^{-3}.

Passo 6

Aplicar a condição inicial para determinar a constante:
  • A condição é y(2)=1. Substituindo x=2 e y=1 na solução geral:
1 = 2\bigl(\ln 2 + C_1\bigr)^{-3}.
  • Isolando \ln 2 + C_1:
\bigl(\ln 2 + C_1\bigr)^3 = 2 \quad\Longrightarrow\quad \ln 2 + C_1 = \sqrt[3]{2}.
  • Portanto
C_1 = \sqrt[3]{2} - \ln 2.
Observação de domínio: como a condição inicial usa x=2>0, consideramos a solução no intervalo onde x>0 e onde \ln x + C_1\neq 0 para evitar problemas com potência negativa. Para nosso caso específico a constante garante expressão bem definida em um intervalo contendo x=2.

Passo 7

Escrever a solução particular final de forma limpa:
  • Substituindo C_1 na expressão para y,
y(x) = x\bigl(\ln|x| + \sqrt[3]{2} - \ln 2\bigr)^{-3}.
  • Podemos rearranjar a soma dentro do parêntese como \ln|x|-\ln 2+\sqrt[3]{2}=\ln\!\bigl(\tfrac{|x|}{2}\bigr)+\sqrt[3]{2}. Como estamos interessados em x perto de 2 (positivos), podemos escrever sem o valor absoluto:
y(x)=x\bigl(\ln\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)+\sqrt[3]{2}\bigr)^{-3},\qquad x>0.

Resposta

y(x)=x\bigl(\ln\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)+\sqrt[3]{2}\bigr)^{-3}

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