Resolva:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá a equação diferencial com condição inicial:
- Pede a solução
que satisfaça essa equação e a condição inicial.
Informações relevantes que já podemos anotar:
- A equação envolve a razão
em todos os termos do lado direito. - A condição inicial é em
, portanto estamos interessados em uma solução num intervalo contendo (logo próximo de ).
Passo 2
Escolha de uma substituição útil e porquê (explicação didática):
- Quando o lado direito de uma equação diferencial depende de
apenas, é muito comum usar a substituição
Isto transforma a equação em uma para
que costuma ser separável. Agora explico como aplicar isso passo a passo.
Fazer a substituição
. Para derivar
em relação a
, use a regra do produto:
onde
. Substituindo
e
na equação original, obtemos uma equação em
.
Passo 3
Substituição e simplificação:
- Substituindo
e em
temos
- Cancela-se
dos dois lados:
- Agora escrevemos em forma separável (colocando termos em
de um lado e em do outro):
Passo 4
Integração (detalhando cada passo):
- Vamos integrar ambos os lados em relação a
(ou integrar o lado esquerdo em e o direito em ):
- Calcule a integral à esquerda. Note que
tem primitiva obtida usando a regra da potência:
(Verificação rápida:
.)
- A integral à direita é
onde
é constante de integração.
- Igualando as primitivas:
Passo 5
Resolver para
explicitamente:
- Dividindo por
para simplificar,
onde
é outra constante arbitrária.
- Agora isolamos
. Eleva-se ambos os lados à potência :
- Lembrando que
, obtemos a solução geral:
Passo 6
Aplicar a condição inicial para determinar a constante:
- A condição é
. Substituindo e na solução geral:
- Isolando
:
- Portanto
Observação de domínio: como a condição inicial usa
, consideramos a solução no intervalo onde
e onde
para evitar problemas com potência negativa. Para nosso caso específico a constante garante expressão bem definida em um intervalo contendo
.
Passo 7
Escrever a solução particular final de forma limpa:
- Substituindo
na expressão para ,
- Podemos rearranjar a soma dentro do parêntese como
. Como estamos interessados em perto de (positivos), podemos escrever sem o valor absoluto: