Encontre o triedro de Frenet (vetores T, N e B) para a hélice r(t)=lang<=cos (4 t), sen(4 t), 3 trang<=.

Passo 1

O enunciado pede o triedro de Frenet (vetores tangente unitário T, normal principal N e binormal B) para a hélice r(t)=lang<=cos(4t),sin(4t),3trang<=. Vamos usar a teoria de curvas no espaço, em que
  • T(t)=r'(t)|r'(t)|,
  • N(t)=T'(t)|T'(t)|,
  • B(t)=T(t)timesN(t).

Passo 2

Derivamos primeiro r(t):
r'(t)=lang<=-4sin(4t),;4cos(4t),;3rang<=
O módulo é
|r'(t)|=raiz(-4sin(4t))^2+(4cos(4t))^2+3^2=raiz16+9=5
Logo o vetor tangente unitário é
T(t)=15lang<=-4sin(4t),;4cos(4t),;3rang<==lang<=-tfrac45sin(4t),;tfrac45cos(4t),;tfrac35rang<=

Passo 3

Agora precisamos de T'(t). Derivando cada componente:
T'(t)=lang<= -tfrac45cdot4cos(4t),;-tfrac45cdot4sin(4t),;0rang<==lang<= -tfrac165cos(4t),;-tfrac165sin(4t),;0rang<=
O módulo é |T'(t)|=tfrac165. Assim o vetor normal principal é
N(t)=T'(t)|T'(t)|=lang<= -cos(4t),;-sin(4t),;0rang<=

Passo 4

Por fim, o binormal vem de B(t)=T(t)timesN(t). Fazendo o produto vetorial, obtemos:
B(t)=lang<= tfrac35sin(4t),;-tfrac35cos(4t),;tfrac45rang<=

Resposta

T(t)=lang<= -tfrac45sin(4t),;tfrac45cos(4t),;tfrac35rang<=, N(t)=lang<= -cos(4t),;-sin(4t),;0rang<=, B(t)=lang<= tfrac35sin(4t),;-tfrac35cos(4t),;tfrac45rang<=

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