Sejam
e
a relação
define um produto escalar em
.
Calcule a norma do polinômio
.
Calcule a norma do polinômio
Passo 1
O enunciado dá um espaço de polinômios
e um produto escalar definido por
onde
e
.
Pede-se para calcular a norma do polinômio
Pede-se para calcular a norma do polinômio
Informações relevantes listadas: os coeficientes de
são os
e o produto escalar soma os produtos correspondentes de coeficientes; a norma deve ser obtida a partir desse produto escalar.
Passo 2
Lembrando a definição de norma induzida por um produto escalar: para qualquer vetor (aqui, polinômio)
,
Explicando isso de forma bem direta: primeiro calculamos
, que é a soma dos quadrados dos componentes (no nosso produto escalar específico), e depois tiramos a raiz quadrada para obter a norma. Isso mede “o tamanho” do vetor no espaço.
Passo 3
Identificar os coeficientes do polinômio
. Como
temos
Observe que
porque não há termo em
em
.
Passo 4
Calcular o produto escalar
usando a definição dada:
Substituindo os coeficientes:
Passo 5
Fazendo as contas:
,
,
,
. Somando:
Passo 6
Agora aplicamos a definição de norma:
Podemos notar que
não simplifica para uma raiz inteira nem para uma forma com fator quadrado inteiro, então deixamos assim. (Aproximação numérica:
, se for útil na prova.)