Sejam p=a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2}+a_{3} t^{3} e q=b_{0}+b_{1} t+b_{2} t^{2}+b_{3} t^{3} \in P_{3}(\mathbb{R}) a relação
\langle p, q\rangle=a_{0} b_{0}+a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}
define um produto escalar em P_{3}(\mathbb{R}).
Calcule a norma do polinômio p=3+2 t^{2}+t^{3}.

Passo 1

O enunciado dá um espaço de polinômios P_{3}(\mathbb{R}) e um produto escalar definido por
\langle p,q\rangle = a_{0}b_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3},
onde p=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3} e q=b_{0}+b_{1}t+b_{2}t^{2}+b_{3}t^{3}.
Pede-se para calcular a norma do polinômio
p=3+2t^{2}+t^{3}.
Informações relevantes listadas: os coeficientes de p são os a_{i} e o produto escalar soma os produtos correspondentes de coeficientes; a norma deve ser obtida a partir desse produto escalar.

Passo 2

Lembrando a definição de norma induzida por um produto escalar: para qualquer vetor (aqui, polinômio) v,
\|v\| = \sqrt{\langle v, v\rangle}.
Explicando isso de forma bem direta: primeiro calculamos \langle v,v\rangle, que é a soma dos quadrados dos componentes (no nosso produto escalar específico), e depois tiramos a raiz quadrada para obter a norma. Isso mede “o tamanho” do vetor no espaço.

Passo 3

Identificar os coeficientes do polinômio p. Como
p=3+0\cdot t+2t^{2}+1\cdot t^{3},
temos
a_{0}=3,\quad a_{1}=0,\quad a_{2}=2,\quad a_{3}=1.
Observe que a_{1}=0 porque não há termo em t em p.

Passo 4

Calcular o produto escalar \langle p,p\rangle usando a definição dada:
\langle p,p\rangle = a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}.
Substituindo os coeficientes:
\langle p,p\rangle = 3^{2} + 0^{2} + 2^{2} + 1^{2}.

Passo 5

Fazendo as contas: 3^{2}=9, 0^{2}=0, 2^{2}=4, 1^{2}=1. Somando:
\langle p,p\rangle = 9 + 0 + 4 + 1 = 14.

Passo 6

Agora aplicamos a definição de norma:
\|p\| = \sqrt{\langle p,p\rangle} = \sqrt{14}.
Podemos notar que \sqrt{14} não simplifica para uma raiz inteira nem para uma forma com fator quadrado inteiro, então deixamos assim. (Aproximação numérica: \sqrt{14}\approx 3,7417, se for útil na prova.)

Resposta

\sqrt{14}

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