Encontre d y / d x usando derivação logarítmica. y=\sqrt[3]{\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}}
Passo 1
O enunciado pede para encontrar \dfrac{d y}{d x} da função
y=\sqrt[3]{\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}}.
Informações dadas e pedido:
A função y está definida em termos de x pela expressão acima.
O objetivo é calcular \dfrac{d y}{d x} (derivada de y em relação a x).
Não é pedido um método específico, mas foi solicitado usar derivação logarítmica.
Passo 2
Idea principal da derivação logarítmica (aula rápida e amigável): quando a função é produto, quociente ou potência com base que depende de x, é muito prático aplicar \ln (ou melhor \ln|\,\cdot\,|) aos dois lados para transformar potências em multiplicação e quocientes em diferenças de logaritmos. Depois diferenciamos implicitamente. Uma observação importante: usar \ln|y| garante validade mesmo quando y for negativo (desde que y\neq0).
Aplicando isso aqui: primeiro escrevo y como potência:
A derivada está expressa em termos da própria y; substituir y torna a resposta explícita em x.
Pontos onde a expressão não é válida: x=\pm1 (porque aparecem denominadores zero). Fora desses pontos a fórmula vale.
A técnica usada foi a derivação logarítmica: tomar \ln|y|, diferenciar implicitamente e isolar y'. Essa técnica evita expandir potências de quocientes diretamente e economiza tempo em provas.