Encontre d y / d x usando derivação logarítmica.
y=\sqrt[3]{\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \dfrac{d y}{d x} da função
y=\sqrt[3]{\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}}.
Informações dadas e pedido:
  • A função y está definida em termos de x pela expressão acima.
  • O objetivo é calcular \dfrac{d y}{d x} (derivada de y em relação a x).
  • Não é pedido um método específico, mas foi solicitado usar derivação logarítmica.

Passo 2

Idea principal da derivação logarítmica (aula rápida e amigável): quando a função é produto, quociente ou potência com base que depende de x, é muito prático aplicar \ln (ou melhor \ln|\,\cdot\,|) aos dois lados para transformar potências em multiplicação e quocientes em diferenças de logaritmos. Depois diferenciamos implicitamente. Uma observação importante: usar \ln|y| garante validade mesmo quando y for negativo (desde que y\neq0).
Aplicando isso aqui: primeiro escrevo y como potência:
y=\left(\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\right)^{1/3}.
Agora tomo logaritmo natural absoluto:
\ln|y|=\ln\left|\left(\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\right)^{1/3}\right|.
Usando as propriedades dos logaritmos ( \ln|a^k|=k\ln|a| e \ln\!\left|\dfrac{A}{B}\right|=\ln|A|-\ln|B|), obtenho
\ln|y|=\frac{1}{3}\bigl(\ln|x^{2}-1|-\ln|x^{2}+1|\bigr).

Passo 3

Agora diferencial dos dois lados em relação a x. Lembretes de fórmulas usadas:
  • Derivada de \ln|u(x)| é \dfrac{u'(x)}{u(x)}.
  • Derivada de x^{2} é 2x.
Diferenciando:
\frac{d}{dx}\bigl(\ln|y|\bigr)=\frac{d}{dx}\!\left[\frac{1}{3}\bigl(\ln|x^{2}-1|-\ln|x^{2}+1|\bigr)\right].
Pela regra da cadeia, o lado esquerdo é \dfrac{y'}{y}. O lado direito dá:
\frac{y'}{y}=\frac{1}{3}\left(\frac{2x}{x^{2}-1}-\frac{2x}{x^{2}+1}\right).

Passo 4

Simplificar a expressão do lado direito passo a passo. Primeiro fator comum:
\frac{y'}{y}=\frac{2x}{3}\left(\frac{1}{x^{2}-1}-\frac{1}{x^{2}+1}\right).
Agora calculo a diferença entre as frações:
\frac{1}{x^{2}-1}-\frac{1}{x^{2}+1}=\frac{x^{2}+1-(x^{2}-1)}{(x^{2}-1)(x^{2}+1)}=\frac{2}{x^{4}-1},
onde usei (x^{2}-1)(x^{2}+1)=x^{4}-1. Então
\frac{y'}{y}=\frac{2x}{3}\cdot\frac{2}{x^{4}-1}=\frac{4x}{3(x^{4}-1)}.

Passo 5

Isolar y': multiplico ambos os lados por y:
y' = y\cdot\frac{4x}{3(x^{4}-1)}.
Agora volto a escrever y em termos de x:
y' = \frac{4x}{3(x^{4}-1)}\left(\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\right)^{1/3}.

Passo 6

Comentários finais rápidos (úteis na prova):
  • A derivada está expressa em termos da própria y; substituir y torna a resposta explícita em x.
  • Pontos onde a expressão não é válida: x=\pm1 (porque aparecem denominadores zero). Fora desses pontos a fórmula vale.
  • A técnica usada foi a derivação logarítmica: tomar \ln|y|, diferenciar implicitamente e isolar y'. Essa técnica evita expandir potências de quocientes diretamente e economiza tempo em provas.

Resposta

y'=\frac{4x}{3(x^{4}-1)}\left(\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}\right)^{1/3}

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