Encontre
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada de
em relação a
, onde a função é
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão interna é
. - O domínio natural da função (onde ela está definida) exige
, o que sempre ocorre para todo com . - A função composta envolve três “camadas” (uma raiz quadrada, a função
e a potência ), então será necessário aplicar a regra da cadeia várias vezes. - O objetivo final é calcular
.
Passo 2
Plano de ação (sem resolver ainda): vamos decompor a função em partes mais simples e aplicar a regra da cadeia passo a passo. Definimos internamente:
A regra da cadeia, em forma geral, diz que se
,
e
, então
Explicando de forma simples: derivamos a camada mais externa mantendo as internas como “constantes”, multiplicamos pela derivada da próxima camada para dentro, e assim por diante. Um exemplo rápido (sem relação com o problema): para
faria
.
Passo 3
Derivada da camada mais interna
.
Aqui usei a regra básica de potências:
.
Passo 4
Derivada da função intermediária
em relação a
.
É útil lembrar (e justificar rapidamente) a derivada de . Seja
. Então
. Diferenciando implicitamente em relação a
:
É útil lembrar (e justificar rapidamente) a derivada de
Como
(escolhendo o sinal positivo adequado no intervalo principal de
), obtemos
Portanto, substituindo
,
Passo 5
Derivada da camada mais externa
em relação a
.
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia para juntar todas as peças. Usando
e o resultado do Passo 4:
Agora substituindo
e simplificando os fatores
:
Passo 7
Observações finais sobre domínio e sinais (úteis na hora da prova):
- A derivada obtida só está bem definida quando os denominadores são não nulos e bem definidos; isto exige
e . - Como
entrega valores em , ocorre quando (isto é, ), portanto os pontos são pontos onde a derivada não existe (denominador zero). - Para
a expressão do Passo 6 é válida. O sinal: é negativo para , positivo para , e zero em .