Encontre d y / d x.
y=\sqrt{\operatorname{arc} \cos x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de y em relação a x, onde a função é
y=\sqrt{\operatorname{arccos}\!\left(x^{2}\right)}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão interna é \operatorname{arccos}\!\left(x^{2}\right).
  • O domínio natural da função (onde ela está definida) exige x^{2}\in[-1,1], o que sempre ocorre para todo x com |x|\le1.
  • A função composta envolve três “camadas” (uma raiz quadrada, a função \operatorname{arccos} e a potência x^{2}), então será necessário aplicar a regra da cadeia várias vezes.
  • O objetivo final é calcular \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Plano de ação (sem resolver ainda): vamos decompor a função em partes mais simples e aplicar a regra da cadeia passo a passo. Definimos internamente:
v(x)=x^{2},\qquad u(v)=\operatorname{arccos}(v),\qquad y(u)=\sqrt{u}.
A regra da cadeia, em forma geral, diz que se y=f(u), u=g(v) e v=h(x), então
\frac{dy}{dx}=f'(u)\,g'(v)\,h'(x).
Explicando de forma simples: derivamos a camada mais externa mantendo as internas como “constantes”, multiplicamos pela derivada da próxima camada para dentro, e assim por diante. Um exemplo rápido (sem relação com o problema): para y=\sqrt{\sin x} faria y'=\dfrac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot\cos x.

Passo 3

Derivada da camada mais interna v(x)=x^{2}.
\frac{dv}{dx}=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
Aqui usei a regra básica de potências: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.

Passo 4

Derivada da função intermediária u(v)=\operatorname{arccos}(v) em relação a v.
É útil lembrar (e justificar rapidamente) a derivada de \operatorname{arccos}. Seja w=\operatorname{arccos}(v). Então \cos w=v. Diferenciando implicitamente em relação a v:
-\sin w\;\frac{dw}{dv}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{dw}{dv}=-\frac{1}{\sin w}.
Como \sin w=\sqrt{1-\cos^{2}w}=\sqrt{1-v^{2}} (escolhendo o sinal positivo adequado no intervalo principal de \operatorname{arccos}), obtemos
\frac{d}{dv}\operatorname{arccos}(v)=-\frac{1}{\sqrt{1-v^{2}}}.
Portanto, substituindo v=x^{2},
\frac{d}{dx}\operatorname{arccos}\!\left(x^{2}\right)=-\frac{1}{\sqrt{1-(x^{2})^{2}}}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr) =-\frac{1}{\sqrt{1-x^{4}}}\cdot 2x.

Passo 5

Derivada da camada mais externa y(u)=\sqrt{u} em relação a u.
\frac{dy}{du}=\frac{d}{du}\bigl(u^{1/2}\bigr)=\frac{1}{2}u^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia para juntar todas as peças. Usando u=\operatorname{arccos}\!\left(x^{2}\right) e o resultado do Passo 4:
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} =\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot\left(-\frac{2x}{\sqrt{1-x^{4}}}\right).
Agora substituindo u=\operatorname{arccos}\!\left(x^{2}\right) e simplificando os fatores 2:
\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{\sqrt{\operatorname{arccos}\!\left(x^{2}\right)}\;\sqrt{1-x^{4}}}.

Passo 7

Observações finais sobre domínio e sinais (úteis na hora da prova):
  • A derivada obtida só está bem definida quando os denominadores são não nulos e bem definidos; isto exige \operatorname{arccos}\!\left(x^{2}\right)>0 e 1-x^{4}>0.
  • Como \operatorname{arccos} entrega valores em [0,\pi], \operatorname{arccos}\!\left(x^{2}\right)=0 ocorre quando x^{2}=1 (isto é, x=\pm1), portanto os pontos x=\pm1 são pontos onde a derivada não existe (denominador zero).
  • Para |x|<1 a expressão do Passo 6 é válida. O sinal: \dfrac{dy}{dx} é negativo para x>0, positivo para x<0, e zero em x=0.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{\sqrt{\operatorname{arccos}\!\left(x^{2}\right)}\;\sqrt{1-x^{4}}}

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