Encontre d y / d x usando derivação logarítmica.
y=\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+1}}

Passo 1

O enunciado pede encontrar \dfrac{d y}{d x} usando derivação logarítmica para a função
y=\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Informações dadas:
  • A função y está explicitamente dada em termos de x.
  • A técnica exigida é a derivação logarítmica (ou seja: aplicar \ln e diferenciar).
    A tarefa final é entregar uma expressão simplificada para \dfrac{d y}{d x}.

Passo 2

Por que usar derivação logarítmica?
Quando y é um quociente e potências em x aparecem, tirar o log transforma produtos/quotientes em somas/diferenças e expoentes em fatores, deixando a diferenciação mais simples. Como y pode ser negativa (quando x<0), é mais seguro trabalhar com \ln|y|. Lembranças úteis:
  • \dfrac{d}{dx}\big(\ln|u(x)|\big)=\dfrac{u'(x)}{u(x)} (regra da cadeia).
  • \ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b e \ln(a^{k})=k\ln a.

Passo 3

Aplicar o log absoluto aos dois lados e simplificar usando propriedades do log:
\ln|y|=\ln\left|\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+1}}\right| =\ln|x^{3}|-\ln\big((x^{2}+1)^{1/2}\big).
Usando \ln|x^{3}|=3\ln|x| e \ln\big((x^{2}+1)^{1/2}\big)=\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1) (aqui não precisa de barra de valor absoluto em x^{2}+1 porque é sempre positivo), obtemos
\ln|y|=3\ln|x|-\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1).

Passo 4

Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x. Pela regra da derivada do log:
\frac{1}{y}\,\frac{d y}{d x}=\frac{d}{dx}\big(3\ln|x|\big)-\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1)\right).
Calculando cada derivada:
  • \dfrac{d}{dx}\big(3\ln|x|\big)=3\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{x}, pois \dfrac{d}{dx}\ln|x|=\dfrac{1}{x}.
  • \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1)\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2x}{x^{2}+1}=\dfrac{x}{x^{2}+1} pela regra da cadeia.
    Portanto
\frac{1}{y}\,\frac{d y}{d x}=\frac{3}{x}-\frac{x}{x^{2}+1}.

Passo 5

Isolando \dfrac{d y}{d x}:
\frac{d y}{d x}=y\left(\frac{3}{x}-\frac{x}{x^{2}+1}\right).

Passo 6

Substituir y=\dfrac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+1}} na expressão acima:
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+1}}\left(\frac{3}{x}-\frac{x}{x^{2}+1}\right).
Multiplicando termo a termo:
\frac{d y}{d x}=\frac{3x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}}-\frac{x^{4}}{(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}+1}}.

Passo 7

Colocar em denominador comum e simplificar. O denominador comum é (x^{2}+1)\sqrt{x^{2}+1}=(x^{2}+1)^{3/2}. No numerador:
3x^{2}(x^{2}+1)-x^{4}=3x^{4}+3x^{2}-x^{4}=2x^{4}+3x^{2}.
Logo
\frac{d y}{d x}=\frac{2x^{4}+3x^{2}}{(x^{2}+1)^{3/2}}.
Fatorando x^{2} no numerador:
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}\big(2x^{2}+3\big)}{(x^{2}+1)^{3/2}}.

Passo 8

Breve observação (útil para a prova): usar \ln|y| evita problemas com sinal de y. A fórmula final vale para todo x\in\mathbb{R} (o denominador nunca é zero), e está numa forma simples para avaliação ou comparação.

Resposta

\dfrac{x^{2}\big(2x^{2}+3\big)}{(x^{2}+1)^{3/2}}

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