Encontre d y / d x usando derivação logarítmica. y=\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+1}}
Passo 1
O enunciado pede encontrar \dfrac{d y}{d x} usando derivação logarítmica para a função
y=\frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Informações dadas:
A função y está explicitamente dada em termos de x.
A técnica exigida é a derivação logarítmica (ou seja: aplicar \ln e diferenciar).
A tarefa final é entregar uma expressão simplificada para \dfrac{d y}{d x}.
Passo 2
Por que usar derivação logarítmica?
Quando y é um quociente e potências em x aparecem, tirar o log transforma produtos/quotientes em somas/diferenças e expoentes em fatores, deixando a diferenciação mais simples. Como y pode ser negativa (quando x<0), é mais seguro trabalhar com \ln|y|. Lembranças úteis:
\dfrac{d}{dx}\big(\ln|u(x)|\big)=\dfrac{u'(x)}{u(x)} (regra da cadeia).
\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b e \ln(a^{k})=k\ln a.
Passo 3
Aplicar o log absoluto aos dois lados e simplificar usando propriedades do log:
Usando \ln|x^{3}|=3\ln|x| e \ln\big((x^{2}+1)^{1/2}\big)=\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+1) (aqui não precisa de barra de valor absoluto em x^{2}+1 porque é sempre positivo), obtemos
\ln|y|=3\ln|x|-\frac{1}{2}\ln(x^{2}+1).
Passo 4
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x. Pela regra da derivada do log:
Breve observação (útil para a prova): usar \ln|y| evita problemas com sinal de y. A fórmula final vale para todo x\in\mathbb{R} (o denominador nunca é zero), e está numa forma simples para avaliação ou comparação.