Encontre, usando o método de integração de frações parciais, as integrais indefinidas:
integral 1x^2-x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral indefinida de 1x^2 - x usando o método de frações parciais. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador x^2 - x. A ideia aqui é fatorar esse polinômio para facilitar a decomposição em frações parciais. Podemos colocar x em evidência:
x^2 - x = x(x - 1)
Agora, temos o denominador fatorado como x(x - 1).

Passo 3

Agora que temos a fração 1x(x - 1), vamos decompor em frações parciais. Queremos encontrar constantes A e B tais que:
1x(x - 1) = Ax + Bx - 1
Para encontrar A e B, vamos multiplicar ambos os lados por x(x - 1) para eliminar os denominadores:
1 = A(x - 1) + Bx
Agora, precisamos resolver essa equação para encontrar A e B.

Passo 4

Vamos escolher valores estratégicos para x para facilitar a resolução:
  1. Se x = 0:
    1 = A(0 - 1) + B(0) implies 1 = -A implies A = -1
  2. Se x = 1:
    1 = A(1 - 1) + B(1) implies 1 = B implies B = 1
Então, encontramos que A = -1 e B = 1.

Passo 5

Agora que temos os valores de A e B, podemos reescrever a fração original:
1x(x - 1) = -1x + 1x - 1
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1x^2 - x dx = integral ( -1x + 1x - 1 ) dx

Passo 6

Vamos integrar cada termo:
  1. integral -1x dx = -ln|x|
  2. integral 1x - 1 dx = ln|x - 1|
Então, juntando tudo:
- ln|x| + ln|x - 1| + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a -,ln|x| + ln|x - 1| + C.

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