Encontre, usando o método de integração de frações parciais, as integrais indefinidas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral indefinida de
usando o método de frações parciais. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente sobre integração de funções racionais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples que a gente consegue integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador
. A ideia aqui é fatorar esse polinômio para facilitar a decomposição em frações parciais. Podemos colocar
em evidência:
Agora, temos o denominador fatorado como
.
Passo 3
Agora que temos a fração
, vamos decompor em frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Para encontrar
e
, vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, precisamos resolver essa equação para encontrar
e
.
Passo 4
Vamos escolher valores estratégicos para
para facilitar a resolução:
-
Se
: -
Se
:
Então, encontramos que
e
.
Passo 5
Agora que temos os valores de
e
, podemos reescrever a fração original:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 6
Vamos integrar cada termo:
Então, juntando tudo:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a
.