Encontre, usando o método de integração de frações parciais, as integrais indefinidas:
integral sec ^3(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a integral indefinida integralsec^3(x),dx. O conteúdo principal é integração de funções trigonométricas e vamos precisar usar integração por partes junto com a identidade tan^2(x)=sec^2(x)-1.

Passo 2

Primeiro, escrevemos sec^3(x) como o produto de sec(x) por sec^2(x), pois sec^2(x) é a derivada de tan(x):
integralsec^3(x),dx=integralsec(x),sec^2(x),dx

Passo 3

Agora aplicamos a integração por partes. Escolhemos
u=sec(x), dv=sec^2(x),dx
Isso faz com que a derivada seja du=sec(x)tan(x),dx e a primitiva seja v=tan(x).

Passo 4

Pela fórmula de partes integral u,dv=u,v-integral v,du, temos:
integralsec(x),sec^2(x),dx=sec(x)tan(x)-integraltan(x)l[sec(x)tan(x)r]dx
Ou seja,
integralsec^3(x),dx=sec(x)tan(x)-integralsec(x)tan^2(x),dx

Passo 5

Para tratar integralsec(x)tan^2(x),dx, usamos a identidade tan^2(x)=sec^2(x)-1. Assim:
integralsec(x)tan^2(x),dx=integralsec(x)l(sec^2(x)-1r)dx=integralsec^3(x),dx-integralsec(x),dx
Substituindo de volta na expressão anterior:
integralsec^3(x),dx=sec(x)tan(x)-l(integralsec^3(x),dx-integralsec(x),dxr)

Passo 6

Agora isolamos I=integralsec^3(x),dx. Ficamos com
I=sec(x)tan(x)-I+integralsec(x),dx
e portanto
2I=sec(x)tan(x)+integralsec(x),dx
Falta calcular integralsec(x),dx, que é uma integral padrão: integralsec(x),dx=lnl|sec(x)+tan(x)r|+C.

Passo 7

Dividindo ambos os lados por 2, obtemos a resposta geral:
integralsec^3(x),dx=12sec(x)tan(x)+12lnl|sec(x)+tan(x)r|+C

Resposta

integralsec^3(x),dx=tfrac12sec(x)tan(x)+tfrac12lnlvertsec(x)+tan(x)rvert+C.

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