Encontre, usando o método de integração de frações parciais, as integrais indefinidas:
integral 2024x^3-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando o método de frações parciais! O exercício pede para calcularmos a integral integral 2024x^3-x^2 , dx.
Conteúdo da matéria: Integração por frações parciais, que é uma técnica usada para integrar funções racionais, ou seja, quocientes de polinômios.
O que vamos precisar: Fatorar o denominador do integrando e decompor a fração em somas de frações mais simples que podemos integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador x^3 - x^2. Podemos fatorar esse polinômio:
x^3 - x^2 = x^2(x - 1)
Então, a integral fica:
integral 2024x^2(x - 1) , dx

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração 2024x^2(x - 1) em frações parciais. Assumimos que podemos escrevê-la como:
2024x^2(x - 1) = Ax + Bx^2 + Cx - 1
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por x^2(x - 1) para eliminar os denominadores:
2024 = A cdot x cdot (x - 1) + B cdot (x - 1) + C cdot x^2
Simplificando:
2024 = A x^2 - A x + B x - B + C x^2
Agrupando os termos semelhantes:
2024 = (A + C) x^2 + (B - A) x - B

Passo 5

Agora, vamos resolver para A, B e C comparando os coeficientes de cada potência de x:
A + C = 0 B - A = 0 -B = 2024
Resolvendo o sistema:
  1. De -B = 2024, temos B = -2024.
  2. De B - A = 0, substituindo B, temos -2024 - A = 0 A = -2024.
  3. De A + C = 0, substituindo A, temos -2024 + C = 0 C = 2024.

Passo 6

Com os valores de A, B e C encontrados, a decomposição fica:
2024x^2(x - 1) = -2024x + -2024x^2 + 2024x - 1

Passo 7

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral -2024x , dx + integral -2024x^2 , dx + integral 2024x - 1 , dx
Integrando termo a termo:
  1. integral -2024x , dx = -2024 ln|x|
  2. integral -2024x^2 , dx = 2024 cdot 1x
  3. integral 2024x - 1 , dx = 2024 ln|x - 1|

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
-2024 ln|x| + 2024x + 2024 ln|x - 1| + C
Onde C é a constante de integração.

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