Encontre, usando o método de integração de frações parciais, as integrais indefinidas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando o método de frações parciais! O exercício pede para calcularmos a integral
.
Conteúdo da matéria: Integração por frações parciais, que é uma técnica usada para integrar funções racionais, ou seja, quocientes de polinômios.
O que vamos precisar: Fatorar o denominador do integrando e decompor a fração em somas de frações mais simples que podemos integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador
. Podemos fatorar esse polinômio:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração
em frações parciais. Assumimos que podemos escrevê-la como:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
,
e
comparando os coeficientes de cada potência de
:
Resolvendo o sistema:
- De
, temos-B = 2024 .B = -2024 - De
, substituindoB - A = 0 , temosB ⇒-2024 - A = 0 .A = -2024 - De
, substituindoA + C = 0 , temosA ⇒-2024 + C = 0 .C = 2024
Passo 6
Com os valores de
A ,
B e
C encontrados, a decomposição fica:
Passo 7
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
Integrando termo a termo:
-
integral -2024x , dx = -2024 ln|x| -
integral -2024x^2 , dx = 2024 cdot 1x -
integral 2024x - 1 , dx = 2024 ln|x - 1|
Resposta
Juntando tudo, a integral é:
Onde
C é a constante de integração.