Encontre, usando o método de substituição simples, as integrais indefinidas abaixo:
integral 4 x^5+6 x^7 d x

Passo 1

O enunciado quer a integral indefinida de 4x^5+6x^7 usando substituição simples; o conteúdo é integração de polinômio com substituições do tipo u=x^n+1. Vamos precisar aplicar substituição em cada termo separadamente para ficar didático.

Passo 2

Para calcular integral4x^5,dx, fazemos a substituição u=x^6, pois a derivada de x^6 é 6x^5. Logo,
du=6x^5,dx
x^5,dx=du6
Substituindo em integral4x^5,dx:
integral4x^5,dx=4integral x^5,dx=4integraldu6=46integral du=23u+C1
Voltando a x:
23u=23x^6

Passo 3

Para calcular integral6x^7,dx, fazemos a substituição u=x^8, pois a derivada de x^8 é 8x^7. Logo,
du=8x^7,dx
x^7,dx=du8
Substituindo em integral6x^7,dx:
integral6x^7,dx=6integral x^7,dx=6integraldu8=68integral du=34u+C2
Voltando a x:
34u=34x^8

Passo 4

Somando os resultados parciais e agrupando as constantes C1 e C2 numa única constante geral C, temos a antiderivada de 4x^5+6x^7.

Resposta

23x^6+34x^8+C

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