Encontre, usando o método de integração de substituição trigonométrica, as integrais indefinidas:
integral 1raiz2024-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral 1raiz2024 - x^2,dx usando substituição trigonométrica. O conteúdo é integração de expressões da forma raiza^2-x^2 e vamos precisar escolher a substituição x = raiz2024,sintheta.

Passo 2

Fazendo a substituição definimos x = raiz2024,sintheta. Assim,
dx = raiz2024,costheta,dtheta
e
e raiz2024 - x^2 = raiz2024 - 2024,sin^2theta = raiz2024,|costheta|

Passo 3

No intervalo escolhido para theta (isto é, -tfracpi2 <= theta <= tfracpi2), temos costheta >= 0, então |costheta| = costheta.
Substituindo na integral original:
integral 1raiz2024 - x^2,dx = integral 1raiz2024,costheta l(raiz2024,costheta,dthetar) = integral dtheta

Passo 4

Integrando em theta obtemos
integral dtheta = theta + C

Passo 5

Para voltar a variável x, lembramos que sintheta = xraiz2024, logo
theta = arcsin!l(tfracxraiz2024r)

Resposta

arcsin!l(tfracxraiz2024r) + C

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