Encontre, usando o método de integração de frações parciais, as integrais indefinidas:
integral 1(x-4)(x-1)^2 d x

Passo 1

Nesse exercício, a gente precisa calcular a integral indefinida integral 1(x-4)(x-1)^2,dx usando o método de frações parciais. Esse conteúdo envolve decompor uma função racional em soma de frações mais simples e depois integrar cada pedaço individualmente.

Passo 2

Para decompor, suponha que
1(x-4)(x-1)^2=Ax-4+Bx-1+C(x-1)^2
Vamos precisar achar os valores de A, B e C.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x-4)(x-1)^2, obtemos a identidade
1=A,(x-1)^2+B,(x-4)(x-1)+C,(x-4)

Passo 4

Expandindo e coletando coeficientes de x^2, x e termo constante, chegamos ao sistema
A+B=0, -2A-5B+C=0, A+4B-4C=1
Resolvendo, encontramos A=tfrac19, B=-tfrac19 e C=-tfrac13.

Passo 5

Substituindo na integral, fica
integral 1(x-4)(x-1)^2,dx=integrall(1/9x-4-1/9x-1-1/3(x-1)^2r),dx

Passo 6

Agora, integramos cada termo. Sabendo que
integraldxx-a=ln|x-a|, integral(x-1)^-2dx=-1x-1,
temos cada parte separada.

Passo 7

Juntando tudo com os coeficientes, obtemos
19ln|x-4|-19ln|x-1|+13(x-1)+C
Opcionalmente, dá pra combinar os logaritmos:

Passo 8

19lnl|x-4x-1r|+13(x-1)+C

Resposta

19lnl|x-4x-1r|+13(x-1)+C

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