Encontre, usando o método de integração por partes, as integrais indefinidas abaixo:
integral ln (x-1) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral indefinida integral ln (x-1) , dx usando o método de integração por partes. Esse método é útil quando a integral é um produto de duas funções diferentes. Para isso, precisamos identificar quais partes da integral vamos chamar de $ u $ e $ dv $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Isso significa que precisamos escolher $ u $ e $ dv $ de forma que a integral fique mais fácil de resolver após aplicar a fórmula.

Passo 3

Vamos escolher:
u = ln(x - 1)
e
dv = dx
Essas escolhas simplificam o cálculo porque $ dv = dx $ é fácil de integrar.

Passo 4

Agora, vamos calcular $ du $ e $ v $:
Primeiro, derivamos $ u $ em relação a $ x $:
du
Em seguida, integramos $ dv $ para encontrar $ v $:
v

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral ln(x - 1) , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral ln(x - 1) , dx = ln(x - 1) cdot x - integral x cdot 1x - 1 , dx

Passo 6

Vamos simplificar a segunda integral:
integral x cdot 1x - 1 , dx = integral xx - 1 , dx
Podemos reescrever a fração:
xx - 1 = 1 + 1x - 1
Então, a integral fica:
integral 1 , dx + integral 1x - 1 , dx = x + ln|x - 1| + C
onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Voltando à expressão anterior:
integral ln(x - 1) , dx = x ln(x - 1) - ( x + ln|x - 1| ) + C
Simplificando:
integral ln(x - 1) , dx = x ln(x - 1) - x - ln(x - 1) + C
Podemos combinar os termos:
integral ln(x - 1) , dx = (x - 1) ln(x - 1) - x + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral ln(x - 1) , dx = (x - 1) ln(x - 1) - x + C

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