Encontre, usando o método de integração por partes, as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
Vamos resolver a integral indefinida
usando o método de integração por partes. Esse método é útil quando a integral é um produto de duas funções diferentes. Para isso, precisamos identificar quais partes da integral vamos chamar de $ u $ e $ dv $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Isso significa que precisamos escolher $ u $ e $ dv $ de forma que a integral fique mais fácil de resolver após aplicar a fórmula.
Passo 3
Vamos escolher:
e
Essas escolhas simplificam o cálculo porque $ dv = dx $ é fácil de integrar.
Passo 4
Agora, vamos calcular $ du $ e $ v $:
Primeiro, derivamos $ u $ em relação a $ x $:
Primeiro, derivamos $ u $ em relação a $ x $:
Em seguida, integramos $ dv $ para encontrar $ v $:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar a segunda integral:
Podemos reescrever a fração:
Então, a integral fica:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Voltando à expressão anterior:
Simplificando:
Podemos combinar os termos:
Resposta
A integral indefinida é: