Encontre, usando o método de integração por partes, as integrais indefinidas abaixo:
integral x cdot sen(5 x) d x

Passo 1

Beleza, a gente tem que resolver a integral indefinida integral x cdot sin(5x) , dx usando o método de integração por partes. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente nas técnicas de integração. Vamos precisar identificar qual parte da função será u e qual será dv para aplicar a fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, lembra da fórmula de integração por partes? Ela é integral u , dv = u , v - integral v , du. Então, vamos escolher u = x e dv = sin(5x) , dx. Agora, precisamos derivar u para achar du e integrar dv para achar v.

Passo 3

Derivando u = x, temos du = dx. Agora, vamos integrar dv = sin(5x) , dx. A integral de sin(5x) é -15 cos(5x), então v = -15 cos(5x).

Passo 4

Substituindo na fórmula de integração por partes: integral x cdot sin(5x) , dx = u cdot v - integral v , du = x cdot (-15 cos(5x)) - integral (-15 cos(5x)) , dx.

Passo 5

Agora, simplificando: -x5 cos(5x) + 15 integral cos(5x) , dx. A integral de cos(5x) é 15 sin(5x), então continuamos.

Passo 6

Substituindo a integral: -x5 cos(5x) + 15 cdot 15 sin(5x) que simplifica para -x5 cos(5x) + 125 sin(5x).

Resposta

Portanto, a integral integral x cdot sin(5x) , dx é -x5 cos(5x) + 125 sin(5x) + C, onde C é a constante de integração.

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