Encontre, usando o método de substituição simples, as integrais indefinidas abaixo:
integral sen^2(x) d x

Passo 1

E aí! Temos um exercício de cálculo que pede para encontrar a integral indefinida de sin^2(x) usando o método de substituição simples. Vamos precisar saber sobre integrais, identidades trigonométricas e como aplicar a substituição para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, integrar sin^2(x) diretamente pode ser um pouco complicado. Para simplificar, vamos usar uma identidade trigonométrica que transforma sin^2(x) em uma expressão mais fácil de integrar. A identidade que vamos usar é:
sin^2(x) = 1 - cos(2x)2
Essa identidade é útil porque nos permite reescrever a integral de uma forma que podemos integrar facilmente.

Passo 3

Agora, substituindo a identidade na integral, temos:
integral sin^2(x) , dx = integral 1 - cos(2x)2 , dx
Podemos simplificar isso tirando o 12 para fora da integral:
= 12 integral (1 - cos(2x)) , dx

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes:
12 integral 1 , dx - 12 integral cos(2x) , dx
Agora, integramos cada termo separadamente. A integral de 1 em relação a x é simplesmente x, e a integral de cos(2x) é sin(2x)2.

Passo 5

Aplicando as integrações, temos:
12 cdot x - 12 cdot sin(2x)2 + C
Simplificando os coeficientes:
x2 - sin(2x)4 + C

Resposta

A integral indefinida de sin^2(x) é:
integral sin^2(x) , dx = x2 - sin(2x)4 + C

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