Encontre, usando o método de substituição simples, as integrais indefinidas abaixo:
integral raiz2 x-1raiz2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema pede para encontrar a integral indefinida de raiz2x - 1raiz2x em relação a x usando o método de substituição simples. Isso faz parte do estudo de Cálculo, mais especificamente da integração por substituição. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a expressão e aplicar a substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a visualização:
integral ( raiz2x - 1raiz2x ) dx
Podemos separar essa integral em duas partes:
integral raiz2x , dx - integral 1raiz2x , dx
Vamos resolver cada uma delas usando substituição.

Passo 3

Vamos começar com a primeira integral: integral raiz2x , dx .
Substituição:
Escolhemos u = 2x . Isso simplifica a expressão dentro da raiz.
Calculando du :
du = 2 , dx Rightarrow dx = du2

Passo 4

Agora, substituímos na primeira integral:
integral raiz2x , dx = integral raizu cdot du2 = 12 integral u^1/2 , du
Integrando:
12 cdot u^3/232 + C = 12 cdot 23 u^3/2 + C = 13 u^3/2 + C
Substituindo u = 2x :
13 (2x)^3/2 + C

Passo 5

Agora, vamos para a segunda integral: integral 1raiz2x , dx .
Substituição:
Novamente, escolhemos u = 2x .
Calculando du :
du = 2 , dx Rightarrow dx = du2

Passo 6

Substituindo na segunda integral:
integral 1raiz2x , dx = integral 1raizu cdot du2 = 12 integral u^-1/2 , du
Integrando:
12 cdot u^1/212 + C = 12 cdot 2 u^1/2 + C = u^1/2 + C
Substituindo u = 2x :
raiz2x + C

Resposta

Juntando as duas integrais, temos:
integral ( raiz2x - 1raiz2x ) dx = 13 (2x)^3/2 - raiz2x + C
Onde C é a constante de integração.

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