Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por
Calcule o espaço percorrido pela partícula no intervalo de tempo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Nesse exercício, a gente precisa calcular o espaço percorrido por uma partícula que se move ao longo de uma curva definida por
no intervalo de tempo
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente a fórmula do comprimento de uma curva paramétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Se a curva é dada por
, o comprimento
entre
e
é dado por:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos identificar as funções
e
a partir de
:
Agora, vamos calcular as derivadas dessas funções em relação a
.
Passo 4
Calculando a derivada de
em relação a
:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Agora que temos as derivadas, vamos substituir na fórmula do comprimento de arco:
Passo 6
Esse integral representa o espaço percorrido pela partícula entre
e
. Dependendo dos valores específicos de
e
, pode ser necessário resolver o integral numericamente ou simplificar a expressão se possível.
Resposta
O espaço percorrido pela partícula no intervalo de tempo
é dado por: