Uma partícula se move ao longo de uma curva definida por
sigma(t)=(t-sen t, 1-cos t^2), 0 <= t <= 2 pi
Calcule o espaço percorrido pela partícula no intervalo de tempo [t1, t2].

Passo 1

Beleza, vamos lá! Nesse exercício, a gente precisa calcular o espaço percorrido por uma partícula que se move ao longo de uma curva definida por sigma(t) = (t - sin t, 1 - cos t^2) no intervalo de tempo [t1, t2]. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente a fórmula do comprimento de uma curva paramétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Se a curva é dada por sigma(t) = (x(t), y(t)), o comprimento S entre t1 e t2 é dado por:
S = integralt1^t2 raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t.

Passo 3

Vamos identificar as funções x(t) e y(t) a partir de sigma(t):
x(t) = t - sin t
y(t) = 1 - cos t^2
Agora, vamos calcular as derivadas dessas funções em relação a t.

Passo 4

Calculando a derivada de x(t) em relação a t:
dxdt = ddt (t - sin t) = 1 - cos t
Calculando a derivada de y(t) em relação a t:
dydt = ddt (1 - cos t^2) = 0 - (-sin t^2) cdot 2t = 2t sin t^2

Passo 5

Agora que temos as derivadas, vamos substituir na fórmula do comprimento de arco:
S = integralt1^t2 raiz(1 - cos t)^2 + (2t sin t^2)^2 , dt

Passo 6

Esse integral representa o espaço percorrido pela partícula entre t1 e t2. Dependendo dos valores específicos de t1 e t2, pode ser necessário resolver o integral numericamente ou simplificar a expressão se possível.

Resposta

O espaço percorrido pela partícula no intervalo de tempo [t1, t2] é dado por:
S = integralt1^t2 raiz(1 - cos t)^2 + (2t sin t^2)^2 , dt

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