Encontre, usando regras tais como a do produto, do quociente e da cadeia, a derivada das seguintes funções:
f(x)=\frac{x^{3}+2 x^{2}+3 x+4}{\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{x^{3}+2x^{2}+3x+4}{\sqrt{x}}
usando regras de diferenciação como produto, quociente, cadeia e, especialmente, a regra do poder. Vamos reescrever em potências de x para aplicar a regra do poder de forma direta.

Passo 2

Reescrevendo f(x) como soma de potências de x, usamos \sqrt{x}=x^{1/2} e dividimos cada termo:
f(x) =\frac{x^3}{x^{1/2}}+\frac{2x^2}{x^{1/2}}+\frac{3x}{x^{1/2}}+\frac{4}{x^{1/2}} =x^{3-\tfrac12}+2\,x^{2-\tfrac12}+3\,x^{1-\tfrac12}+4\,x^{-\tfrac12},
ou seja
f(x)=x^{5/2}+2\,x^{3/2}+3\,x^{1/2}+4\,x^{-1/2}.

Passo 3

Derivamos cada termo usando a regra do poder \frac{d}{dx}x^n=n\,x^{n-1}:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{5/2}\bigr) =\frac{5}{2}\,x^{5/2-1} =\frac{5}{2}\,x^{3/2},
\frac{d}{dx}\bigl(2\,x^{3/2}\bigr) =2\cdot\frac{3}{2}\,x^{3/2-1} =3\,x^{1/2},
\frac{d}{dx}\bigl(3\,x^{1/2}\bigr) =3\cdot\frac{1}{2}\,x^{1/2-1} =\frac{3}{2}\,x^{-1/2},
\frac{d}{dx}\bigl(4\,x^{-1/2}\bigr) =4\cdot\bigl(-\tfrac12\bigr)\,x^{-1/2-1} =-2\,x^{-3/2}.

Passo 4

Somando as derivadas obtidas, temos
f'(x) =\frac{5}{2}\,x^{3/2} +3\,x^{1/2} +\frac{3}{2}\,x^{-1/2} -2\,x^{-3/2}.

Passo 5

Para deixar em forma de quociente simples, fatoramos x^{-3/2}:
f'(x) =x^{-3/2}\Bigl(\tfrac{5}{2}x^3+3x^2+\tfrac{3}{2}x-2\Bigr) =\frac{5x^3+6x^2+3x-4}{2\,x^{3/2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{5x^{3}+6x^{2}+3x-4}{2\,x^{3/2}}.

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