Encontre, usando regras tais como a do produto, do quociente e da cadeia, a derivada das seguintes funções:
f(x)=\frac{x^{5}-7 x^{3}+4 x}{x^{4}+3 x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \frac{x^5 - 7x^3 + 4x}{x^4 + 3x^2 - 1}
usando a regra do poder para polinômios e a regra do quociente para funções racionais.

Passo 2

Derivamos o numerador g(x) = x^5 - 7x^3 + 4x aplicando a regra \tfrac{d}{dx}x^n = n\,x^{n-1}. Logo,
g'(x) = 5x^4 - 21x^2 + 4.

Passo 3

Derivamos o denominador h(x) = x^4 + 3x^2 - 1 pela mesma regra:
h'(x) = 4x^3 + 6x.

Passo 4

A regra do quociente diz que, para \displaystyle f(x) = \frac{g(x)}{h(x)},
f'(x) = \frac{g'(x)\,h(x) \;-\; g(x)\,h'(x)}{\bigl(h(x)\bigr)^2}.

Passo 5

Substituindo g, g', h e h' obtemos
f'(x) = \frac{(5x^4 - 21x^2 + 4)(x^4 + 3x^2 - 1)\;-\;(x^5 - 7x^3 + 4x)(4x^3 + 6x)}{(x^4 + 3x^2 - 1)^2}.

Passo 6

Expandindo e simplificando o numerador:
(5x^4 - 21x^2 + 4)(x^4 + 3x^2 - 1) = 5x^8 - 6x^6 - 64x^4 + 33x^2 - 4,
(x^5 - 7x^3 + 4x)(4x^3 + 6x) = 4x^8 - 22x^6 - 26x^4 + 24x^2,
portanto a diferença é
x^8 + 16x^6 - 38x^4 + 9x^2 - 4.

Resposta

f'(x) = \frac{x^8 + 16x^6 - 38x^4 + 9x^2 - 4}{(x^4 + 3x^2 - 1)^2}.

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