Encontre, usando regras tais como a do produto, do quociente e da cadeia, a derivada das seguintes funções:
f(x)=\left(-x^{3}+3 x^{2}-2 x+7\right)^{7}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\bigl(-x^{3}+3x^{2}-2x+7\bigr)^{7}
Isso é um caso clássico de regra da cadeia, onde podemos ver f(x)=g\bigl(h(x)\bigr) com
g(t)=t^{7} \quad\text{e}\quad h(x)=-x^{3}+3x^{2}-2x+7.
Para resolver, vamos usar que
\frac{d}{dx}g\bigl(h(x)\bigr)=g'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).

Passo 2

Primeiro, derivamos g(t)=t^{7}:
g'(t)=7t^{6}.
Depois, derivamos h(x)=-x^{3}+3x^{2}-2x+7:
h'(x) = -3x^{2}+6x-2.
Agora aplicamos a regra da cadeia:
f'(x) = g'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x) = 7\bigl(h(x)\bigr)^{6}\,\bigl(-3x^{2}+6x-2\bigr).
Substituindo h(x) de volta, fica:
f'(x) =7\bigl(-x^{3}+3x^{2}-2x+7\bigr)^{6}\,\bigl(-3x^{2}+6x-2\bigr).

Resposta

f'(x) =7\bigl(-x^{3}+3x^{2}-2x+7\bigr)^{6}\,\bigl(-3x^{2}+6x-2\bigr).

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