Encontre, usando regras tais como a do produto, do quociente e da cadeia, a derivada das seguintes funções:
f(x)=\frac{e^{3 x}}{1+\ln x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{e^{3x}}{1+\ln x}
no domínio x>0. Para isso vamos usar a regra do quociente, além de aplicar a regra da cadeia para derivar e^{3x} e a derivada de \ln x.

Passo 2

Sejam
u(x)=e^{3x} \quad\text{e}\quad v(x)=1+\ln x.
Pela regra do quociente,
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^2}.

Passo 3

Calcular u'(x) e v'(x):
- Para u(x)=e^{3x}, pela regra da cadeia,
u'(x)=3e^{3x}.
- Para v(x)=1+\ln x, a derivada de 1 é 0 e de \ln x é 1/x, logo
v'(x)=\frac{1}{x}.

Passo 4

Substituindo na regra do quociente:
f'(x) =\frac{3e^{3x}\,(1+\ln x)\;-\;e^{3x}\,\dfrac{1}{x}}{(1+\ln x)^2}.

Passo 5

Fatorando e^{3x} no numerador para simplificar:
f'(x) =\frac{e^{3x}\Bigl(3(1+\ln x)-\tfrac{1}{x}\Bigr)}{(1+\ln x)^2} =\frac{e^{3x}\bigl(3+3\ln x-\tfrac{1}{x}\bigr)}{(1+\ln x)^2}.

Resposta

f'(x) =\frac{e^{3x}\bigl(3(1+\ln x)-\tfrac{1}{x}\bigr)}{(1+\ln x)^2}.

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