Encontre, usando regras tais como a do produto, do quociente e da cadeia, a derivada das seguintes funções:
f(x)=(2 x+1)^{3}(3 x-2)^{4}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = (2x+1)^3\,(3x-2)^4
pelas regras do produto e da cadeia.

Passo 2

Definimos
u(x)=(2x+1)^3 \quad\text{e}\quad v(x)=(3x-2)^4,
então a regra do produto diz
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia em cada fator:
Para u(x): a derivada de (2x+1)^3 é 3(2x+1)^2 vezes a derivada interna 2, logo
u'(x)=6(2x+1)^2.
Para v(x): a derivada de (3x-2)^4 é 4(3x-2)^3 vezes a derivada interna 3, logo
v'(x)=12(3x-2)^3.

Passo 4

Substituindo em f'(x)=u'v+uv':
f'(x)=6(2x+1)^2\,(3x-2)^4 \;+\;(2x+1)^3\,12(3x-2)^3.

Passo 5

Fatoramos 6(2x+1)^2(3x-2)^3 em comum:
f'(x)=6(2x+1)^2(3x-2)^3\bigl[(3x-2)+2(2x+1)\bigr].
No colchete,
(3x-2)+2(2x+1)=3x-2+4x+2=7x.
Logo
f'(x)=42x\,(2x+1)^2\,(3x-2)^3.

Resposta

f'(x)=42x\,(2x+1)^2\,(3x-2)^3

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