Encontre, usando regras tais como a do produto, do quociente e da cadeia, a derivada das seguintes funções:
f(x)=\operatorname{sen}((792) x) \ln \left(\frac{x}{792}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\operatorname{sen}\bigl((792)\,x\bigr)\,\ln\!\Bigl(\frac{x}{792}\Bigr)
Usaremos as seguintes regras de diferenciação:
  1. Regra do produto: se f(x)=u(x)\,v(x), então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
  1. Regra da cadeia: para composições como \operatorname{sen}(g(x)).
  2. Derivada de \ln: \dfrac{d}{dx}\ln(w)=w'/w.

Passo 2

Identificamos
u(x)=\operatorname{sen}\bigl(792\,x\bigr), \qquad v(x)=\ln\!\Bigl(\frac{x}{792}\Bigr).
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Vamos obter u'(x). Como u(x)=\operatorname{sen}(g(x)) com g(x)=792\,x, pela regra da cadeia:
u'(x)=\cos\bigl(792\,x\bigr)\,\frac{d}{dx}(792\,x) =\cos\bigl(792\,x\bigr)\times 792.
Logo,
u'(x)=792\cos\bigl(792\,x\bigr).

Passo 4

Agora v'(x). Escrevendo v(x)=\ln(w(x)) com w(x)=x/792, temos
w'(x)=\frac{1}{792}, \qquad v'(x)=\frac{w'(x)}{w(x)} =\frac{\tfrac{1}{792}}{\tfrac{x}{792}} =\frac{1}{x}.

Passo 5

Substituindo u'(x) e v'(x) na regra do produto:
f'(x) = \bigl[792\cos(792\,x)\bigr]\;\ln\!\Bigl(\tfrac{x}{792}\Bigr) + \operatorname{sen}\bigl(792\,x\bigr)\;\frac{1}{x}.

Resposta

f'(x) =792\cos\bigl(792\,x\bigr)\,\ln\!\Bigl(\frac{x}{792}\Bigr) +\frac{\operatorname{sen}\bigl(792\,x\bigr)}{x}.

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