Encontre, usando regras tais como a do produto, do quociente e da cadeia, a derivada das seguintes funções:
f(x)=\frac{e^{3 x}}{1+\ln x^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{e^{3x}}{1+\ln(x^2)}
usando as regras do quociente e da cadeia.

Passo 2

Definimos
u(x)=e^{3x}, \quad v(x)=1+\ln(x^2).
Para u aplicamos a cadeia:
u'(x)=3e^{3x}.
Para v usamos a cadeia em \ln(x^2):
\frac{d}{dx}\ln(x^2)=\frac{1}{x^2}\cdot 2x=\frac{2}{x},
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v'(x)=\frac{2}{x}.

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2}.

Passo 4

Substituindo u, u', v, v' na fórmula:
f'(x) =\frac{3e^{3x}\bigl(1+\ln(x^2)\bigr)\;-\;e^{3x}\,\frac{2}{x}} {\bigl(1+\ln(x^2)\bigr)^{2}} =\frac{e^{3x}\Bigl[3\bigl(1+\ln(x^2)\bigr)-\tfrac{2}{x}\Bigr]}{\bigl(1+\ln(x^2)\bigr)^{2}}.

Resposta

f'(x) =\frac{e^{3x}\Bigl(3\bigl(1+\ln(x^2)\bigr)-\tfrac{2}{x}\Bigr)}{\bigl(1+\ln(x^2)\bigr)^{2}}.

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