Encontre, usando regras tais como a do produto, do quociente e da cadeia, a derivada das seguintes funções:
f(x)=\frac{\ln \left(792 x^{2}\right)}{1+\ln (x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\ln\bigl(792x^{2}\bigr)}{1+\ln(x)}.
O conteúdo envolvido é derivação de quociente e de funções logarítmicas, usando as regras da cadeia e do quociente.

Passo 2

Definimos
u(x)=\ln\bigl(792x^{2}\bigr), \quad v(x)=1+\ln(x),
de modo que
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
e a regra do quociente nos dá
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.

Passo 3

Para u'(x), note que
\ln\bigl(792x^{2}\bigr)=\ln(792)+2\ln(x),
logo, derivando:
u'(x)=0+2\cdot\frac{1}{x}=\frac{2}{x}.

Passo 4

Para v'(x), derivamos
v(x)=1+\ln(x),
obtendo
v'(x)=0+\frac{1}{x}=\frac{1}{x}.

Passo 5

Substituindo na regra do quociente:
f'(x) = \frac{\displaystyle \frac{2}{x}\bigl(1+\ln(x)\bigr) -\displaystyle \ln\bigl(792x^{2}\bigr)\,\frac{1}{x}} {\bigl(1+\ln(x)\bigr)^{2}}.

Passo 6

Fatorando \tfrac1x no numerador e usando \ln(792x^{2})=\ln(792)+2\ln(x), temos
f'(x) = \frac{1}{x}\, \frac{2\bigl(1+\ln(x)\bigr)-\bigl(\ln(792)+2\ln(x)\bigr)} {\bigl(1+\ln(x)\bigr)^{2}} = \frac{1}{x}\, \frac{2-\ln(792)}{\bigl(1+\ln(x)\bigr)^{2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{2-\ln(792)}{x\,(1+\ln(x))^{2}}.

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