Encontre, usando regras tais como a do produto, do quociente e da cadeia, a derivada das seguintes funções:
f(x)=e^{-x} \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^{-x}\,\tan\!\biggl(\frac{x}{2}\biggr)
O conteúdo envolve aplicação da regra do produto e da regra da cadeia.

Passo 2

Vamos usar a regra do produto. Definimos
u(x)=e^{-x}, \quad v(x)=\tan\!\biggl(\frac{x}{2}\biggr).
Então
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculando u'(x): como u(x)=e^{g(x)} com g(x)=-x, vale
u'(x)=e^{g(x)}\,g'(x)=e^{-x}\,(-1)=-e^{-x}.

Passo 4

Calculando v'(x): escrevemos v(x)=\tan\bigl(w(x)\bigr) com w(x)=\tfrac{x}{2}. Pela regra da cadeia,
v'(x)=\operatorname{sec}^2\!\bigl(w(x)\bigr)\,w'(x).
Como w'(x)=\tfrac12, temos
v'(x)=\frac12\,\operatorname{sec}^2\!\biggl(\frac{x}{2}\biggr).

Passo 5

Substituindo em f'(x)=u'v+uv':
f'(x) = \bigl(-e^{-x}\bigr)\tan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + e^{-x}\,\frac12\,\operatorname{sec}^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Fatorando e^{-x}:
f'(x) = e^{-x}\Bigl[-\tan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)+\tfrac12\,\operatorname{sec}^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\Bigr]
ou, de forma equivalente,
f'(x)=e^{-x}\Bigl(\tfrac12\,\operatorname{sec}^2\!\tfrac{x}{2}-\tan\!\tfrac{x}{2}\Bigr).

Resposta

f'(x) = e^{-x}\Bigl(\tfrac12\,\operatorname{sec}^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)-\tan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\Bigr).

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