Encontre, usando regras tais como a do produto, do quociente e da cadeia, a derivada das seguintes funções:
f(x)=\operatorname{sen}(\cos (2 x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\sin\bigl(\cos(2x)\bigr).
O conteúdo principal aqui é diferenciação de funções compostas, ou seja, aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Identificamos as funções aninhadas para aplicar a regra da cadeia. Primeiro, definimos
u(x) = \cos(2x)
de modo que
f(x) = \sin\bigl(u(x)\bigr).

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia à derivada de \sin(u). Sabemos que
\frac{d}{du}\sin(u) = \cos(u),
então, ao derivar f(x)=\sin\bigl(u(x)\bigr), temos
f'(x) = \cos\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 4

Agora derivamos u(x)=\cos(2x). De novo usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dv}\cos(v) = -\sin(v),
com v(x)=2x. Logo,
u'(x) = -\sin(2x)\cdot\frac{d}{dx}(2x) = -\sin(2x)\cdot 2 = -2\sin(2x).

Passo 5

Substituímos u(x) e u'(x) em f'(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x). Assim,
f'(x) = \cos\bigl(\cos(2x)\bigr)\cdot\bigl(-2\sin(2x)\bigr) = -2\,\sin(2x)\,\cos\bigl(\cos(2x)\bigr).

Resposta

f'(x) = -2\,\sin(2x)\,\cos\bigl(\cos(2x)\bigr).

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