Encontre, usando regras tais como a do produto, do quociente e da cadeia, a derivada das seguintes funções:
f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x^{3}}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x^{3}}}
usando regras de derivação (cadeia e potência). Para resolver, vamos reescrever a função em potências, aplicar a regra da cadeia para a raiz externa e usar a regra de potência para o termo interno \sqrt{x^3}.

Passo 2

Reescrevendo em potências, note que \sqrt{x^3}=(x^3)^{\tfrac12}. Logo,
f(x)=\bigl(x+(x^3)^{\tfrac12}\bigr)^{\tfrac12} =\bigl(x+x^{\tfrac32}\bigr)^{\tfrac12}.

Passo 3

Para derivar f(x)=(u(x))^{\tfrac12}, usamos a regra da cadeia:
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{u(x)}}\;u'(x),
onde u(x)=x+x^{\tfrac32}.

Passo 4

Vamos achar u'(x). Temos
u(x)=x+x^{\tfrac32},
e pela regra de potência
\frac{d}{dx}\bigl(x^{\tfrac32}\bigr) =\tfrac32\,x^{\tfrac12}.
Portanto,
u'(x)=1+\tfrac32\,x^{\tfrac12}.

Passo 5

Substituindo em f'(x)=\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}, obtemos
f'(x) =\frac{1+\tfrac32\,x^{\tfrac12}} {2\sqrt{x+x^{\tfrac32}}} =\frac{1+\frac32\sqrt{x}}{2\sqrt{x+\sqrt{x^3}}}.

Resposta

f'(x) =\frac{1+\tfrac32\sqrt{x}}{2\sqrt{x+\sqrt{x^3}}}.

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