Encontre o valor de

Passo 1

O enunciado pede o valor de
Para isso, precisamos calcular e igualar esse limite ao valor dado em .

Passo 2

Vamos simplificar a parte
x^2raizx^2+1-1
racionalizando o denominador. Multiplicamos numerador e denominador por raizx^2+1+1:
x^2raizx^2+1-1 =x^2l(raizx^2+1+1r)l(raizx^2+1-1r)l(raizx^2+1+1r) =x^2l(raizx^2+1+1r)(x^2+1)-1 =raizx^2+1+1
Logo, para (x,y)neq(0,0) temos
f(x,y)=raizx^2+1+1+2y

Passo 3

Agora calculemos o limite quando (x,y)to(0,0):
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) =lim(x,y)to(0,0)l(raizx^2+1+1+2yr) =raiz0+1+1+2cdot 0 =2

Passo 4

Para que f seja contínua em (0,0), o valor definido ali deve coincidir com esse limite, isto é,
3a^2+7a-4 = 2
Resolvendo
3a^2+7a-4-2=0 Longrightarrow 3a^2+7a-6=0

Passo 5

A equação quadrática 3a^2+7a-6=0 tem discriminante
De<a =7^2-4cdot3cdot(-6)=49+72=121,
logo as raízes são
a=-7pmraiz1212cdot3 =-7pm116
Isso dá a=tfrac46=tfrac23 ou a=-3. Como queremos a>0, escolhemos
a=tfrac23

Resposta

a=tfrac23.

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