Determine se as séries convergem ou divergem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a série
e precisamos descobrir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas, especialmente o Teste da Comparação e o Teste p. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo geral da série:
. Observamos que, para valores grandes de
, o
no denominador é quase insignificante, então podemos simplificar aproximando o denominador por
. Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa série com a série
, que é conhecida como a série harmônica. Sabemos que a série harmônica diverge.
Passo 4
Para aplicar o Teste da Comparação, precisamos verificar se nosso termo
é maior ou igual ao termo da série harmônica
para
suficientemente grande.
Calculando:
Isso mostra que cada termo da nossa série é maior que o termo correspondente da série harmônica.
Passo 5
Segundo o Teste da Comparação, se cada termo da série em questão é maior que uma série divergente, então a nossa série também diverge. Como a série harmônica
diverge e
para
grande, concluímos que:
Resposta
A série
diverge.