Determine se as séries convergem ou divergem:
sumn=2^infty n^3n^4-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a série sumn=2^infty n^3n^4-1 e precisamos descobrir se ela converge ou diverge. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas, especialmente o Teste da Comparação e o Teste p. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo geral da série: n^3n^4-1. Observamos que, para valores grandes de n, o -1 no denominador é quase insignificante, então podemos simplificar aproximando o denominador por n^4. Assim, temos:
n^3n^4-1 approx n^3n^4 = 1n

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a série sumn=2^infty 1n, que é conhecida como a série harmônica. Sabemos que a série harmônica diverge.

Passo 4

Para aplicar o Teste da Comparação, precisamos verificar se nosso termo n^3n^4-1 é maior ou igual ao termo da série harmônica 1n para n suficientemente grande.
Calculando:
n^3n^4-1 > n^3n^4 = 1n
Isso mostra que cada termo da nossa série é maior que o termo correspondente da série harmônica.

Passo 5

Segundo o Teste da Comparação, se cada termo da série em questão é maior que uma série divergente, então a nossa série também diverge. Como a série harmônica sum 1n diverge e n^3n^4-1 > 1n para n grande, concluímos que:

Resposta

A série sumn=2^infty n^3n^4-1 diverge.

Exercícios relacionados