Seja C a catenária no plano x z com equação x=\operatorname{cosh} z. Se S é o catenoide obtido ao girarmos C em torno do eixo dos z, determine a expressão do elemento de área \mathrm{d} S correspondente à parametrização usual \mathbf{r}(t, \theta) da superfície de revolução S.
Passo 1
O enunciado dá a catenária no plano xz com equação x=\operatorname{cosh} z. A superfície S é o catenoide obtido girando essa curva em torno do eixo dos z. Pede-se a expressão do elemento de área \mathrm{d}S relativa à parametrização usual \mathbf{r}(t,\theta) da superfície de revolução.
Informações relevantes:
A curva no plano pode ser parametrizada por t como \bigl(x(t),z(t)\bigr)=(\operatorname{cosh} t,t) (peguei a forma x=\operatorname{cosh} z e usei t para o parâmetro).
A rotação em torno do eixo z introduz o ângulo \theta variando tipicamente em [0,2\pi).
O que se quer: uma expressão para \mathrm{d}S em termos de t e \theta.
Passo 2
Escolher a parametrização usual de um corpo de revolução: o parâmetro t acompanha a curva geratriz e \theta é o ângulo de rotação. Assim tomo
Explicação rápida: para cada t fixo, \bigl(\operatorname{cosh} t\cos\theta,\operatorname{cosh} t\sin\theta\bigr) descreve um círculo de raio \operatorname{cosh} t no plano xy, e a coordenada z é t.
Passo 3
Fórmula para o elemento de área de uma superfície parametrizada: se \mathbf{r}(u,v) é uma parametrização regular, então
Detalhe do cálculo do componente k: é (\operatorname{sinh} t\cos\theta)(\operatorname{cosh} t\cos\theta)-(\operatorname{sinh} t\sin\theta)(-\,\operatorname{cosh} t\sin\theta)=\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t.
Agora uso a identidade hiperbólica fundamental \operatorname{cosh}^2 t-\operatorname{sinh}^2 t=1. Reescrevendo, 1+\operatorname{sinh}^2 t=\operatorname{cosh}^2 t. Portanto
\bigl\lVert \mathbf{r}_t\times\mathbf{r}_\theta\bigr\rVert =\operatorname{cosh} t\cdot\operatorname{cosh} t=\operatorname{cosh}^2 t.