Seja C a catenária no plano x z com equação x=\operatorname{cosh} z. Se S é o catenoide obtido ao girarmos C em torno do eixo dos z, determine a expressão do elemento de área \mathrm{d} S correspondente à parametrização usual \mathbf{r}(t, \theta) da superfície de revolução S.

Passo 1

O enunciado dá a catenária no plano xz com equação x=\operatorname{cosh} z. A superfície S é o catenoide obtido girando essa curva em torno do eixo dos z. Pede-se a expressão do elemento de área \mathrm{d}S relativa à parametrização usual \mathbf{r}(t,\theta) da superfície de revolução.
Informações relevantes:
  • A curva no plano pode ser parametrizada por t como \bigl(x(t),z(t)\bigr)=(\operatorname{cosh} t,t) (peguei a forma x=\operatorname{cosh} z e usei t para o parâmetro).
  • A rotação em torno do eixo z introduz o ângulo \theta variando tipicamente em [0,2\pi).
  • O que se quer: uma expressão para \mathrm{d}S em termos de t e \theta.

Passo 2

Escolher a parametrização usual de um corpo de revolução: o parâmetro t acompanha a curva geratriz e \theta é o ângulo de rotação. Assim tomo
\mathbf{r}(t,\theta)=\bigl(\operatorname{cosh} t\cos\theta,\;\operatorname{cosh} t\sin\theta,\;t\bigr).
Explicação rápida: para cada t fixo, \bigl(\operatorname{cosh} t\cos\theta,\operatorname{cosh} t\sin\theta\bigr) descreve um círculo de raio \operatorname{cosh} t no plano xy, e a coordenada z é t.

Passo 3

Fórmula para o elemento de área de uma superfície parametrizada: se \mathbf{r}(u,v) é uma parametrização regular, então
\mathrm{d}S=\bigl\lVert \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\bigr\rVert\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v.
Aqui aplicaremos com u=t e v=\theta. Essa fórmula vem da área do paralelogramo gerado pelos vetores tangentes \mathbf{r}_t e \mathbf{r}_\theta.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais \mathbf{r}_t e \mathbf{r}_\theta.
Derivando componente a componente,
\mathbf{r}_t(t,\theta)=\bigl(\operatorname{sinh} t\cos\theta,\;\operatorname{sinh} t\sin\theta,\;1\bigr),
\mathbf{r}_\theta(t,\theta)=\bigl(-\operatorname{cosh} t\sin\theta,\;\operatorname{cosh} t\cos\theta,\;0\bigr).
Expliquei: derivada de \operatorname{cosh} t é \operatorname{sinh} t; derivada em relação a \theta atua só nas funções trigonométricas.

Passo 5

Calcular o produto vetorial \mathbf{r}_t\times\mathbf{r}_\theta. Faço pela regra do determinante:
\mathbf{r}_t\times\mathbf{r}_\theta= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \operatorname{sinh} t\cos\theta & \operatorname{sinh} t\sin\theta & 1 \\\\ -\,\operatorname{cosh} t\sin\theta & \operatorname{cosh} t\cos\theta & 0 \end{vmatrix}.
Expandindo:
\mathbf{r}_t\times\mathbf{r}_\theta = \bigl(-\operatorname{cosh} t\cos\theta,\; -\operatorname{cosh} t\sin\theta,\; \operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t\bigr).
Detalhe do cálculo do componente k: é (\operatorname{sinh} t\cos\theta)(\operatorname{cosh} t\cos\theta)-(\operatorname{sinh} t\sin\theta)(-\,\operatorname{cosh} t\sin\theta)=\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t.

Passo 6

Calcular a norma do produto vetorial:
\bigl\lVert \mathbf{r}_t\times\mathbf{r}_\theta\bigr\rVert =\sqrt{(-\operatorname{cosh} t\cos\theta)^2+(-\operatorname{cosh} t\sin\theta)^2+(\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t)^2}.
Agrupando termos:
\bigl\lVert \mathbf{r}_t\times\mathbf{r}_\theta\bigr\rVert =\sqrt{\operatorname{cosh}^2 t(\cos^2\theta+\sin^2\theta)+\operatorname{sinh}^2 t\operatorname{cosh}^2 t}.
Como \cos^2\theta+\sin^2\theta=1, isso vira
\bigl\lVert \mathbf{r}_t\times\mathbf{r}_\theta\bigr\rVert =\sqrt{\operatorname{cosh}^2 t+\operatorname{sinh}^2 t\operatorname{cosh}^2 t} =\operatorname{cosh} t\sqrt{1+\operatorname{sinh}^2 t}.
Agora uso a identidade hiperbólica fundamental \operatorname{cosh}^2 t-\operatorname{sinh}^2 t=1. Reescrevendo, 1+\operatorname{sinh}^2 t=\operatorname{cosh}^2 t. Portanto
\bigl\lVert \mathbf{r}_t\times\mathbf{r}_\theta\bigr\rVert =\operatorname{cosh} t\cdot\operatorname{cosh} t=\operatorname{cosh}^2 t.

Passo 7

Concluo aplicando a fórmula do Passo 3:
\mathrm{d}S=\bigl\lVert \mathbf{r}_t\times\mathbf{r}_\theta\bigr\rVert\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}\theta=\operatorname{cosh}^2 t\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}\theta.
Observação prática: tipicamente t\in\mathbb{R} e \theta\in[0,2\pi), e o resultado faz sentido pois \operatorname{cosh}^2 t\ge1.

Resposta

\mathrm{d}S=\operatorname{cosh}^{2}t\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}\theta

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