Encontre o valor de a e o de b, de modo que a função f(x)= 3 x^2, se x <= 1 & seja a x+b, se x>1 & derivável em x=1.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= 3x^2, & x<=1, ax+b, & x>1,
e pede que f seja derivável em x=1. Para isso precisamos garantir (i) continuidade em x=1 e (ii) igualdade das derivadas laterais em x=1.

Passo 2

Condição de continuidade em x=1:
limxto1^-f(x)=limxto1^+f(x)
Como limxto1^-3x^2=3 e limxto1^+(ax+b)=a+b, temos
a+b=3

Passo 3

Condição de derivabilidade em x=1:
limxto1^-f'(x)=limxto1^+f'(x)
A derivada para x<1 é f'(x)=6x, logo f'(1^-)=6. Para x>1, f'(x)=a, então f'(1^+)=a. Igualando,
a=6

Passo 4

Substituindo a=6 em a+b=3 obtemos
b=3-6=-3

Resposta

a=6, b=-3.

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