Em cada caso abaixo, encontre o primeiro inteiro positivo n0 para o qual a sentença é verdadeira e, usando a extensão do Método de Indução, prove que a sentença matemática é verdadeira para qualquer número inteiro maior do que n0 :
(a) 10^n <= n^n

Passo 1

O enunciado pede determinar o menor inteiro positivo n0 tal que
10^n<= n^n
para todo inteiro n>= n0 e, em seguida, provar por indução estendida que essa desigualdade vale para todo n>= n0.

Passo 2

Para achar n0, tiremos a raiz n-ésima de ambos os lados da desigualdade
10^n<= n^n
Longrightarrow 10 <= n
Isso sugere que a desigualdade só pode valer a partir de n=10. De fato, testando:
  • Para n=9: 10^9=1,0times10^9 e 9^9approx3,87times10^8, logo 10^9>9^9.
  • Para n=10: 10^10=10^10, ou seja, a desigualdade é satisfeita com igualdade.
    Portanto, o menor inteiro positivo que funciona é
n0=10

Passo 3

Prova por indução estendida para todo n>=10.
Base ( n=10)
10^10=10^10,
logo 10^10<=10^10 é verdadeira.
Passo indutivo
Suponha que para algum k>=10 valha a hipótese
10^k<= k^k
Queremos mostrar
10^k+1<= (k+1)^k+1
Começamos multiplicando a hipótese por 10:
10^k+1<= 10,k^k
Basta então provar
10,k^k<= (k+1)^k+1
Dividindo ambos os lados por k^k, obtemos a condição equivalente
10 <= (k+1)l(tfrack+1kr)^k = (k+1)l(1+tfrac1kr)^k
Aplicando a desigualdade de Bernoulli com x=tfrac1k e alpha=k, temos
l(1+tfrac1kr)^k>= 1 + kcdottfrac1k = 2
Logo
(k+1)l(1+tfrac1kr)^k;>=;2(k+1);>=;2cdot11=22>10,
pois k>=10 implica k+1>=11. Assim
10 <= (k+1)l(1+tfrac1kr)^k,
o que fecha o passo indutivo e completa a prova.

Resposta

n0=10.

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