Em cada caso abaixo, encontre o primeiro inteiro positivo
para o qual a sentença é verdadeira e, usando a extensão do Método de Indução, prove que a sentença matemática é verdadeira para qualquer número inteiro maior do que
:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede determinar o menor inteiro positivo
tal que
para todo inteiro
e, em seguida, provar por indução estendida que essa desigualdade vale para todo
.
Passo 2
Para achar
, tiremos a raiz
-ésima de ambos os lados da desigualdade
Isso sugere que a desigualdade só pode valer a partir de
. De fato, testando:
- Para
: e , logo . - Para
: , ou seja, a desigualdade é satisfeita com igualdade.
Portanto, o menor inteiro positivo que funciona é
Passo 3
Prova por indução estendida para todo
.
Base (
)
logo
é verdadeira.
Passo indutivo
Suponha que para algum valha a hipótese
Suponha que para algum
Queremos mostrar
Começamos multiplicando a hipótese por
:
Basta então provar
Dividindo ambos os lados por
, obtemos a condição equivalente
Aplicando a desigualdade de Bernoulli com
e
, temos
Logo
pois
implica
. Assim
o que fecha o passo indutivo e completa a prova.