Encontre o valor de cada expressão:
\ln \left(\frac{1}{e}\right)

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre o valor da expressão
\ln\!\left(\frac{1}{e}\right).
Informações dadas:
  • A função logarítmica é o logaritmo natural \ln, cuja base é o número e.
  • O argumento do logaritmo é \dfrac{1}{e}, isto é, a recíproca de e.

Passo 2

Relembrando uma propriedade de potências que vou usar: para qualquer número real a não nulo e inteiro n vale
a^{-1}=\frac{1}{a}.
Aplicando isso a a=e obtenho a igualdade importante para este problema:
\frac{1}{e}=e^{-1}.

Passo 3

Agora uso a propriedade do logaritmo de uma potência: para qualquer a>0 e qualquer expoente real b vale
\ln\!(a^{b})=b\,\ln\!(a).
Nessa fórmula, a é a base do argumento do logaritmo (aqui a=e) e b é o expoente (aqui b=-1).

Passo 4

Aplico a propriedade ao nosso caso, escrevendo o argumento como potência e tirando o expoente:
\ln\!\left(e^{-1}\right) = -1\cdot \ln\!(e).

Passo 5

Lembro também da definição do logaritmo natural: \ln é o inverso da exponencial de base e. Isso implica imediatamente que
\ln\!(e)=1,
pois e^{1}=e.

Passo 6

Substituindo \ln\!(e)=1 na expressão obtida em Passo 4, fica
\ln\!\left(e^{-1}\right) = -1\cdot 1.

Resposta

-1

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