Suponha que
é uma função injetora:
Se
, o que é
?
Se
Passo 1
O enunciado dá duas informações:
- A função
é injetora. - Tem-se
.
O que o problema pede:
- Determinar o valor de
.
Passo 2
Entender o que significa ser injetora e o que é
.
Definição de injetora:
é injetora significa que, para quaisquer
do domínio,
Isto garante que nenhum valor da imagem está ligado a mais de um
distinto — a preimagem de cada valor (quando existe) é única.
O que é
: como
é injetora, pode-se definir uma função inversa parcial (ou inversa sobre a imagem)
cujo domínio é
(os valores que realmente ocorrem como
). Essa inversa satisfaz, para todo
,
e, para todo
do domínio de
,
Passo 3
Aplicar a propriedade da inversa ao valor dado.
Como foi dado
, isso diz que o inverso de
(isto é, o número que é levado a
por
) é
. Usando a propriedade
com
, obtemos:
Passo 4
Substituir o valor conhecido de
.
Como
, na igualdade anterior substitui-se:
Passo 5
Comentários sobre a necessidade da injetividade (ajudinha para a prova).
A injetividade foi importante para garantir que
é realmente uma função (não uma coleção de pontos). Se
não fosse injetora, a expressão
poderia denotar um conjunto com vários elementos ou ser ambígua. Como o enunciado já diz que
é injetora,
significa univocamente que
é o único
tal que
, e então
.
Passo 6
Exemplo rápido para fixar (opcional, mas ajuda a lembrar na prova).
Considere
. Então
. Se
(porque
), então
. Mesma lógica do problema.