Suponha que f é uma função injetora:
Se f^{-1}(3)=2, o que é f(2) ?

Passo 1

O enunciado dá duas informações:
  • A função f é injetora.
  • Tem-se f^{-1}(3)=2.
O que o problema pede:
  • Determinar o valor de f(2).

Passo 2

Entender o que significa ser injetora e o que é f^{-1}.
Definição de injetora: f é injetora significa que, para quaisquer x_1,x_2 do domínio,
f(x_1)=f(x_2)\quad\Rightarrow\quad x_1=x_2.
Isto garante que nenhum valor da imagem está ligado a mais de um x distinto — a preimagem de cada valor (quando existe) é única.
O que é f^{-1}: como f é injetora, pode-se definir uma função inversa parcial (ou inversa sobre a imagem) f^{-1} cujo domínio é \operatorname{Im}(f) (os valores que realmente ocorrem como f(x)). Essa inversa satisfaz, para todo y\in\operatorname{Im}(f),
f\bigl(f^{-1}(y)\bigr)=y
e, para todo x do domínio de f,
f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=x.

Passo 3

Aplicar a propriedade da inversa ao valor dado.
Como foi dado f^{-1}(3)=2, isso diz que o inverso de 3 (isto é, o número que é levado a 3 por f) é 2. Usando a propriedade f\bigl(f^{-1}(y)\bigr)=y com y=3, obtemos:
f\bigl(f^{-1}(3)\bigr)=3.

Passo 4

Substituir o valor conhecido de f^{-1}(3).
Como f^{-1}(3)=2, na igualdade anterior substitui-se:
f\bigl(f^{-1}(3)\bigr)=f(2)=3.

Passo 5

Comentários sobre a necessidade da injetividade (ajudinha para a prova).
A injetividade foi importante para garantir que f^{-1} é realmente uma função (não uma coleção de pontos). Se f não fosse injetora, a expressão f^{-1}(3) poderia denotar um conjunto com vários elementos ou ser ambígua. Como o enunciado já diz que f é injetora, f^{-1}(3)=2 significa univocamente que 2 é o único x tal que f(x)=3, e então f(2)=3.

Passo 6

Exemplo rápido para fixar (opcional, mas ajuda a lembrar na prova).
Considere f(x)=x+1. Então f^{-1}(y)=y-1. Se f^{-1}(3)=2 (porque 3-1=2), então f(2)=2+1=3. Mesma lógica do problema.

Resposta

f(2)=3

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