Um fio feito de um metal desconhecido é sujeito a uma diferença de potencial V=12,0 \mathrm{Ve} é atravessado por uma corrente uniformemente distribuída i=5,6 \mathrm{~A}. O comprimento do fio é L=100 \mathrm{~m} e o diâmetro de sua seção transversal (circular) é d=0,1 \mathrm{~cm}.
(a) Calcule a resistividade \rho e a condutividade \sigma do material. A partir desse resultado, identifique na tabela a seguir o material do qual o fio é feito.
Material Resistividade, \rho(\Omega \cdot \mathrm{m})
Prata 1,62 \times 10^{-8}
Cobre 1,69 \times 10^{-8}
Ouro 2,35 \times 10^{-8}
Aluminio 2,75 \times 10^{-8}
(b) Determine o módulo J da densidade de corrente que atravessa o fio e o módulo E do campo elétrico em seu interior.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (vou listar exatamente os números fornecidos):
  • Diferença de potencial: V=12,0\\ \mathrm{V}.
  • Corrente elétrica: i=5,6\\ \mathrm{A}.
  • Comprimento do fio: L=100\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro da seção circular: d=0,1\\ \mathrm{cm}.
O enunciado pede:
(a) Calcular a resistividade \rho e a condutividade \sigma do material e, a partir disso, identificar qual material da tabela corresponde ao valor encontrado. A tabela dada no enunciado (com valores de resistividade) será usada para identificar o material.
(b) Determinar o módulo J da densidade de corrente que atravessa o fio e o módulo E do campo elétrico no interior do fio.

Passo 2

Converter unidades e calcular a área da seção transversal (passo obrigatório para usar fórmulas de resistência).
  • Primeiro converto o diâmetro para metros:
d=0,1\\ \mathrm{cm}=0,001\\ \mathrm{m}.
  • O raio vale
r=\frac{d}{2}=\frac{0,001}{2}=0,0005\\ \mathrm{m}.
  • A área da seção transversal, como é circular, é dada por A=\pi r^{2}. Explico a fórmula: r é o raio em metros, \pi é a constante 3,14159\ldots, e o resultado tem unidades de \mathrm{m}^{2}. Agora calculo:
A=\pi r^{2}=\pi\left(0,0005\right)^{2} =\pi\cdot 2,5\times10^{-7} \approx 7,8539816\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^{2}.
(Arredondarei os resultados finais mantendo algarismos significativos adequados.)

Passo 3

Determinar a resistência elétrica R do fio a partir da lei de Ohm na forma R=\dfrac{V}{I}.
  • A fórmula: R é a resistência em ohms, V é a diferença de potencial em volts e I é a corrente em ampères.
R=\frac{V}{i}=\frac{12,0}{5,6}\\ \Omega \approx 2,14285714\\ \Omega.
Vou manter algumas casas para as contas intermediárias; depois arredondo os resultados finais.

Passo 4

Relacionar resistência com resistividade e calcular \rho.
  • Definição: a resistividade \rho é uma propriedade material que relaciona a resistência R de um fio com seu comprimento L e área A pela equação
R=\rho\frac{L}{A}.
  • Isolando \rho:
\rho=R\frac{A}{L}.
  • Agora substituo os valores calculados:
\rho = \left(2,14285714\\ \Omega\right)\cdot\frac{7,8539816\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^{2}}{100\\ \mathrm{m}}.
  • Calculo passo a passo:
R\cdot A \approx 2,14285714 \times 7,8539816\times10^{-7} \approx 1,68299606\times10^{-6}\\ \Omega\cdot\mathrm{m},
\rho=\frac{1,68299606\times10^{-6}}{100} =1,68299606\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
  • Arredondando de forma conveniente (dados têm 3 sinais significativos em V e 2 em d; usarei 3 algarismos significativos):
\rho\approx 1,68\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a condutividade \sigma.
  • Definição: a condutividade \sigma é o inverso da resistividade:
\sigma=\frac{1}{\rho}.
  • Substituindo o valor de \rho:
\sigma=\frac{1}{1,68299606\times10^{-8}}\\ \mathrm{S/m} \approx 5,944028\times10^{7}\\ \mathrm{S/m}.
  • Arredondando coerentemente:
\sigma\approx 5,94\times10^{7}\\ \mathrm{S/m}.

Passo 6

Identificar o material comparando \rho com a tabela fornecida no enunciado.
  • Relembro os valores da tabela (fornecidos no enunciado):
    • Prata: \rho=1,62\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
    • Cobre: \rho=1,69\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
    • Ouro: \rho=2,35\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
    • Alumínio: \rho=2,75\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
  • O valor obtido \rho\approx 1,68\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m} está muito próximo do valor da tabela para o cobre \left(1,69\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}\right) e mais distante dos demais. Portanto o material mais provável é o cobre.

Passo 7

Calcular a densidade de corrente J (módulo).
  • Definição: a densidade de corrente \mathbf{J} tem módulo J=\dfrac{i}{A} para corrente uniformemente distribuída na seção.
J=\frac{i}{A}.
  • Substituindo:
J=\frac{5,6\\ \mathrm{A}}{7,8539816\times10^{-7}\\ \mathrm{m}^{2}} \approx 7,13\times10^{6}\\ \mathrm{A/m^{2}}.
(Arredondei para três algarismos significativos.)

Passo 8

Calcular o campo elétrico E no interior do fio e fazer um cruzamento com E=\rho J.
  • Método direto: em um fio retilíneo com diferença de potencial V entre suas extremidades e comprimento L o campo elétrico médio é aproximadamente uniforme e dado por
E=\frac{V}{L}.
  • Substituindo valores:
E=\frac{12,0\\ \mathrm{V}}{100\\ \mathrm{m}}=0,12\\ \mathrm{V/m}.
  • Relação alternativa (consistência): para um material ôhmico vale localmente \mathbf{J}=\sigma\mathbf{E} ou \mathbf{E}=\rho\mathbf{J}. Faço o produto \rho J para checar:
\rho J \approx \left(1,68299606\times10^{-8}\right)\times\left(7,13\times10^{6}\right)\\ \mathrm{V/m}\approx 0,12\\ \mathrm{V/m},
o que confirma o valor obtido por V/L. Portanto
E\approx 0,12\\ \mathrm{V/m}.

Resposta

\rho\approx 1,68\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}
\sigma\approx 5,94\times10^{7}\\ \mathrm{S/m}
Material: cobre
J\approx 7,13\times10^{6}\\ \mathrm{A/m^{2}}
E\approx 0,12\\ \mathrm{V/m}

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