Um fio feito de um metal desconhecido é sujeito a uma diferença de potencial
é atravessado por uma corrente uniformemente distribuída
. O comprimento do fio é
e o diâmetro de sua seção transversal (circular) é
.
(a) Calcule a resistividade
e a condutividade
do material. A partir desse resultado, identifique na tabela a seguir o material do qual o fio é feito.
Material
Resistividade,
Prata
Cobre
Ouro
Aluminio
(b) Determine o módulo
da densidade de corrente que atravessa o fio e o módulo
do campo elétrico em seu interior.
(a) Calcule a resistividade
| Material | Resistividade,
|
| Prata |
|
| Cobre |
|
| Ouro |
|
| Aluminio |
|
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados (vou listar exatamente os números fornecidos):
- Diferença de potencial:
. - Corrente elétrica:
. - Comprimento do fio:
. - Diâmetro da seção circular:
.
O enunciado pede:
(a) Calcular a resistividade e a condutividade
do material e, a partir disso, identificar qual material da tabela corresponde ao valor encontrado. A tabela dada no enunciado (com valores de resistividade) será usada para identificar o material.
(b) Determinar o módulo da densidade de corrente que atravessa o fio e o módulo
do campo elétrico no interior do fio.
(a) Calcular a resistividade
(b) Determinar o módulo
Passo 2
Converter unidades e calcular a área da seção transversal (passo obrigatório para usar fórmulas de resistência).
- Primeiro converto o diâmetro para metros:
- O raio vale
- A área da seção transversal, como é circular, é dada por
. Explico a fórmula: é o raio em metros, é a constante , e o resultado tem unidades de . Agora calculo:
(Arredondarei os resultados finais mantendo algarismos significativos adequados.)
Passo 3
Determinar a resistência elétrica
do fio a partir da lei de Ohm na forma
.
- A fórmula:
é a resistência em ohms, é a diferença de potencial em volts e é a corrente em ampères.
Vou manter algumas casas para as contas intermediárias; depois arredondo os resultados finais.
Passo 4
Relacionar resistência com resistividade e calcular
.
- Definição: a resistividade
é uma propriedade material que relaciona a resistência de um fio com seu comprimento e área pela equação
- Isolando
:
- Agora substituo os valores calculados:
- Calculo passo a passo:
- Arredondando de forma conveniente (dados têm 3 sinais significativos em
e 2 em ; usarei 3 algarismos significativos):
Passo 5
Calcular a condutividade
.
- Definição: a condutividade
é o inverso da resistividade:
- Substituindo o valor de
:
- Arredondando coerentemente:
Passo 6
Identificar o material comparando
com a tabela fornecida no enunciado.
- Relembro os valores da tabela (fornecidos no enunciado):
- Prata:
. - Cobre:
. - Ouro:
. - Alumínio:
.
- Prata:
- O valor obtido
está muito próximo do valor da tabela para o cobre e mais distante dos demais. Portanto o material mais provável é o cobre.
Passo 7
Calcular a densidade de corrente
(módulo).
- Definição: a densidade de corrente
tem módulo para corrente uniformemente distribuída na seção.
- Substituindo:
(Arredondei para três algarismos significativos.)
Passo 8
Calcular o campo elétrico
no interior do fio e fazer um cruzamento com
.
- Método direto: em um fio retilíneo com diferença de potencial
entre suas extremidades e comprimento o campo elétrico médio é aproximadamente uniforme e dado por
- Substituindo valores:
- Relação alternativa (consistência): para um material ôhmico vale localmente
ou . Faço o produto para checar:
o que confirma o valor obtido por
. Portanto
Resposta
Material: cobre